分?jǐn)?shù)階rǒssler混沌系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)仿真研究

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1、分?jǐn)?shù)階Rǒssler混沌系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)仿真研究　　摘要：基于分?jǐn)?shù)階微分算子及其復(fù)域表示方式，利用分?jǐn)?shù)階微積分理論，研究了分?jǐn)?shù)階Rǒssler混沌系統(tǒng)，建立了該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)仿真模型，通過(guò)對(duì)2.7階Rǒssler混沌系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)仿真實(shí)驗(yàn)，證實(shí)了該系統(tǒng)確實(shí)存在混沌現(xiàn)象。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明理論分析的正確性。　　關(guān)鍵詞：Rǒssler系統(tǒng)；分?jǐn)?shù)微積分；動(dòng)態(tài)仿真　　1引言　　雖然分?jǐn)?shù)階微積分已有300多年的研究歷史，但是它在實(shí)際工程方面的應(yīng)用還只是近幾年關(guān)注的焦點(diǎn)。近年來(lái)，在對(duì)整數(shù)階混沌系統(tǒng)研究的基礎(chǔ)上，人們將分?jǐn)?shù)階微分算子引入到非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，才引起了越來(lái)越多人關(guān)注分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)

2、行為[1]，并且發(fā)現(xiàn)了存在混沌吸引子的最低階。同時(shí)，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)也逐漸引起了人們的興趣和關(guān)注[2]。　　本文基于分?jǐn)?shù)階微分算子及其復(fù)域表示方式，利用分?jǐn)?shù)階微積分理論，以分?jǐn)?shù)階Rǒssler混沌系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立了該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)仿真模型，仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性和可行性。　　2分?jǐn)?shù)階微分及其逼近　　因此，分?jǐn)?shù)階微分算子α可以在頻域中用傳遞函數(shù)1/sα4表示。由于分?jǐn)?shù)階微分的標(biāo)準(zhǔn)定義不能直接在時(shí)域仿真中進(jìn)行分?jǐn)?shù)階算子的運(yùn)算，為了有效地分析分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的混沌行為，需用標(biāo)準(zhǔn)整數(shù)階算子來(lái)逼近分?jǐn)?shù)階算子，當(dāng)然這種逼近是在允許的誤差范圍內(nèi)，完全可滿足工程的需要，文獻(xiàn)

3、[4]給出了一種近似方法。在后面的仿真研究中，我們將應(yīng)用此逼近公式，當(dāng)α=0.9時(shí)，1/sα的逼近公式近似表達(dá)式為：　?。?）　　3分?jǐn)?shù)階Rǒssler混沌系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)仿真方法　　我們選擇simulink動(dòng)態(tài)仿真分析，通過(guò)分析其變量的實(shí)時(shí)演化，進(jìn)而分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為特性。該方法可以通過(guò)觀察模塊直接觀察輸出結(jié)果，也可以將仿真數(shù)據(jù)輸出來(lái)定量分析混沌特性，使動(dòng)態(tài)仿真比其他方法更加靈活可靠?！　?分?jǐn)?shù)階Rǒssler混沌系統(tǒng)的仿真模型　　在設(shè)計(jì)系統(tǒng)仿真模型之前，首先考慮到分?jǐn)?shù)階微分算子仿真模塊的設(shè)計(jì)。雖然前面介紹過(guò)可以使用分?jǐn)?shù)逼近公式（3）的傳遞函數(shù)，但是不能設(shè)定初值。本文利用傳

4、遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為State-space（狀態(tài)空間）模塊來(lái)實(shí)現(xiàn)初值的設(shè)置。該模塊是輸入-輸出變量的一種狀態(tài)空間描述，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：　?。?）　　其中，x是狀態(tài)向量，y是輸出向量，u是輸入向量。A、B、C、D是系數(shù)矩陣，可以通過(guò)函數(shù)命令tf2ss計(jì)算得到相應(yīng)參數(shù)?！　?分?jǐn)?shù)階Rǒssler混沌系統(tǒng)動(dòng)態(tài)仿真　　5.1分?jǐn)?shù)階Rǒssler混沌系統(tǒng)可以用下式描述：　　（5）　　其中，4q為系統(tǒng)的微分階數(shù)，0

5、ulink中設(shè)計(jì)仿真模型如圖1所示?！　⊥ㄟ^(guò)函數(shù)命令tf2ss（num，den）求出State-space的系數(shù)矩陣A、B、C、D。　　[A，B，C，D]=tf2ss（[1.76638.274.914]，[136.157.7890.01000]）?！　〗?jīng)過(guò)計(jì)算可得A=[-36.1500-7.7890-0.0100；1.000000；01.00000]；B=[1；0；0]；C=[1.766038.27004.9140]；D=[0]。系統(tǒng)的初始設(shè)置為（0，0，0）；gain1設(shè)置為0.4，gain2設(shè)置為10，gain3設(shè)置為-1；常數(shù)項(xiàng)設(shè)置為0.2；仿真時(shí)間100s，其它參

6、數(shù)為系統(tǒng)默認(rèn)值，使用ODE45對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真?！　?.3仿真結(jié)果　　當(dāng)a=0.4，b=0.2，c=10時(shí)，通過(guò)Graph模塊可以觀察到系統(tǒng)在x-y、y-z平面的相圖，仿真結(jié)果分別如圖2、圖3所示；通過(guò)使用Scope模塊，可以觀察到系統(tǒng)x時(shí)域波形如圖4所示；同樣，也可以通過(guò)workspace模塊輸出到Matlab的工作區(qū)中，然后通過(guò)圖像輸出命令得到三維混沌系統(tǒng)吸引子如圖5所示；結(jié)果與理論分析相吻合，證實(shí)了分?jǐn)?shù)階Rǒssler系統(tǒng)此時(shí)產(chǎn)生了混沌行為，顯示了分?jǐn)?shù)階Rǒssler混沌吸引子；　　6結(jié)束語(yǔ)4　　本文基于分?jǐn)?shù)階微分算子及其復(fù)域表示方式，利用分?jǐn)?shù)階微積分理論，以Rǒss

7、ler分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)為研究對(duì)象，實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)仿真，數(shù)值仿真結(jié)果證實(shí)了系統(tǒng)存在混沌吸引子，同時(shí)也與理論分析相吻合。此外，還可以將該方法推廣應(yīng)用到其它分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)、整數(shù)階混沌系統(tǒng)以及超混沌系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)仿真中?！　⒖嘉墨I(xiàn)　　[1]MohammadST，MohammadH.Anecessaryconditionfordoublescrollattractorexistenceinfractional-ordersystems[J].PhysicsLettersA，2007，367：102-113.　　[2]王發(fā)強(qiáng)，劉崇新.分