數(shù)形結合思想在初中數(shù)學解題中應用

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1、數(shù)形結合思想在初中數(shù)學解題中應用摘要：數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學，數(shù)和形的關系式非常密切的，'‘數(shù)形結合”是初中數(shù)學中的一種重要方法和解題策略。數(shù)和形結合起來，能使抽象的數(shù)學知識形象化，把數(shù)學題目中的一些抽象的數(shù)量關系轉化為適當?shù)膸缀螆D形，在具體的幾何圖形中尋找數(shù)量之間的聯(lián)系，由此可以達到化難為簡、化繁為易的目的。關鍵詞：數(shù)形結合以形助數(shù)以數(shù)解形數(shù)學知識的教學有兩條線：一條是明線，即數(shù)學知識；一條是暗線，即數(shù)學思想方法?！熬拍曛屏x務教育”初中《數(shù)學教學大綱》把數(shù)學的精髓一一數(shù)學思想方法納入了基礎知識范疇。初中數(shù)學新課程《標準》中，安排了"數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“

2、統(tǒng)計與概率”“實踐與綜合”四個學習領域，在每一個學習領域，都離不開兩要素一-數(shù)與形。近觀數(shù)學中考壓軸題，都是代數(shù)、幾何高度綜合，“數(shù)形結合”作用突顯。在數(shù)形結合問題中，主要有兩個方面：一是"以形助數(shù)”，二是"以數(shù)解形”。下面結合以下幾個問題闡述的“數(shù)形結合”在初中數(shù)學解題中的應用。一、以形助數(shù)，化繁為易構造幾何圖形解決代數(shù)與三角問題：1、證明恒等式：案例1已知x、y、z、r均為正數(shù)，且x2+y2二z2求證：rz=xy.分析：由x2+y2=z2,自然聯(lián)想到勾股定理。由可以聯(lián)想到射影定理。從而可以作出符合題設條件的圖形（如圖）。對照圖形，由直角三角形面積的兩種算法，結論的正確

3、性一目了然。證明：（略）小結：涉及到與平方有關的恒等式證明問題，可構造出與之對應的直角三角形或圓，然后利用圖形的幾何性質去解決恒等式的證明問題。2、求最值問題：案例2已知、b均為正數(shù)，且求的最小值。解：如圖，作線段AB=2,在AB上截取AE二,EB=b,過A作AC丄AB,且AO2,過B作BD丄AB,且BD=1O由勾股定理：CE=,BD=,原題即求CE+ED的最小值。又如圖，延長CA至G,使AG=AC,連接GE,由三角形兩邊之和大于第三邊，則G、E、D三點共線時，GE+ED二DG最短。作出圖形，延長DB至F,使BF//AG且BF二AG,連接GF.則在RtADGF中,DF=l

4、+2=3,GF=AB=2CE+DE的最小值是即的最小值是小結：此題由式子特點聯(lián)想勾股定理，構造圖形解決問題。二、以數(shù)解形，精化解題1、“以數(shù)解形”，在'‘數(shù)與式”教學中的應用案例3：如圖，用火柴棒按以下方式搭小魚，搭1條小魚用8根火柴棒，搭2條小魚用14根，，則搭n條小魚需要根火柴棒。（用含n的代數(shù)式表示）分析：第①個圖形，8根第②個圖形，8+6=1+6X1第③個圖形，84-6+6=1+6X2第n個圖形，8+6（n-1）=6n+2圖形規(guī)律探索題，重在考查學生的觀察、分析、歸納的能力，要使學生具備這些能力，需要教師在平常教學中多引導。教學中引導學生觀察分析各個圖形之間變化情

5、況是其一，另一點是此類問題還要懂得將圖形變化情況數(shù)字化，找到數(shù)字與序號間一種隱性關系，從而將一個在不斷變化中幾何圖形代數(shù)化，達到精化解題目的。2、“以數(shù)解形”，在函數(shù)教學中的應用案例4：小強每月的費用都是根據(jù)上月他的家務勞動時間所得獎勵加上基本生活費從父母那里獲取的.若設小強每月的家務勞動時間為x小時，該月可得（即下月他可獲得）的總費為y元，則y(元)和x(小時)之間的函數(shù)圖像如圖所示.(1)根據(jù)圖像，寫出小強每月的基本生活費為多少元;父母是如何獎勵小強勞動的？(2)寫出當0WxW20時，相對應的y與x之間的函數(shù)關系式；(3)若小強5月份希望有250元費用，則小強4月份需

6、做家務多少時間？分析：(1)這是最簡單的讀題，根據(jù)函數(shù)圖象的信息可知，小強每月的基本生活費為150元，父母的獎勵方法是：如果小強每月做家務的時間不超過20小時，每小時獲獎勵2.5元；如果小強每月做家務的時間超過20小時，那么20小時每小時按2.5元獎勵，超過部分按每小時獎勵4元獎勵;(2)根據(jù)函數(shù)圖象知，當0WxW20時，它是一個一次函數(shù)圖象，即設y與x之間的函數(shù)關系式為y=kx+b.因為點(0,150),(20,200)在函數(shù)y=kx+b±,所以函數(shù)關系式為y=2.5x+150；(3)根據(jù)函數(shù)圖象知，當x>20時，它也是一個一次函數(shù)圖象，即設y與x之間的函數(shù)關系式為y=

7、klx+blo因為點(20,200),(30,240)在函數(shù)y=klx+bl上，所以函數(shù)關系式為y=4x+120,當y=250時，4x+120=250,解得x=32.5.評注：解從“數(shù)”到“形”的問題時，應注意觀察函數(shù)圖象的形狀特征(包括分段函數(shù))，充分挖掘圖象中的已知條件，從而確定函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的圖象性質來解.數(shù)學家華羅庚說得好：“數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離?！痹诮虒W中要注重數(shù)形結合思想方法的培養(yǎng)，在培養(yǎng)學生數(shù)形結合思想的過程中，要充分挖掘教材內容，將數(shù)形結合思想滲透于具體的問題