初中 數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用

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1、作者姓名袁瑗職務(wù)職稱中教一級工作單位河北省廊坊市管道局中學(xué)參賽組別初中論文題目數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用論文編號郵政編碼065000通訊地址河北省廊坊市管道局中學(xué)袁瑗（收）固定電話2070179移動電話13930620620電子郵箱yuanyuan6168@126.com第7頁共7頁數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用袁瑗河北省廊坊市管道局中學(xué)（065000）內(nèi)容摘要：數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)中很重要的一種思想方法，它主要是通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題，它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個方面。本文從兩個

2、方面論述了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的具體應(yīng)用：一、構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)與三角問題；二、用代數(shù)與三角方法解決幾何問題，從而使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想以形助數(shù)以數(shù)解形數(shù)學(xué)研究的主要對象是空間形式和數(shù)量關(guān)系。數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩大支柱，它們是對立的，也是統(tǒng)一的。數(shù)形結(jié)合思想，就是通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題，它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個方面。利用它可使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀之長，是一種基本的數(shù)學(xué)思想。忽視數(shù)與形的任何一方面，都會使數(shù)學(xué)變得

3、殘缺不全。正如華羅庚先生所說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”。下面結(jié)合具體實例談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用：一、構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)與三角問題：1、證明恒等式：例1已知、、、均為正數(shù)，且求證：分析：由自然聯(lián)想到勾股定理。由可以聯(lián)想到射影定理。從而可以作出符合題設(shè)條件的圖形（如圖）。對照圖形，由直角三角形面積的兩種算法，結(jié)論的正確性一目了然。證明：（略）小結(jié)：涉及到與平方有關(guān)的恒等式證明問題，可構(gòu)造出與之對應(yīng)的直角三角形或圓，然后利用圖形的幾何性質(zhì)去解決恒等式的證明問題。第7頁共7頁2、證明不

4、等式：例2已知：0＜＜1，0＜＜1.求證：證明：如圖，作邊長為1的正方形ABCD，在AB上取點E，使AE=；在AD上取點G，使AG=，過E、G分別作EF//AD交CD于F；作GH//AB交BC于H。設(shè)EF與GH交于點O，連接AO、BO、CO、DO、AC、BD.由題設(shè)及作圖知△、△、△、△均為直角三角形，因此且由于所以：當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。小結(jié)：在求證條件不等式時，可根據(jù)題設(shè)條件作出對應(yīng)的圖形，然后運用圖形的幾何性質(zhì)或者平面幾何的定理、公理去建立不等式使結(jié)論獲證。3、求參數(shù)的值或參數(shù)的取值范圍：例

5、3若方程（＞0）的兩根滿足：＜1，1＜＜3，求的取值范圍。解析：畫出與方程對應(yīng)的二次函數(shù)（＞0）的草圖：第7頁共7頁第7頁共7頁由圖可知：當(dāng)=1時，＜0；當(dāng)=3時，＞0.即＜0；＞0.解得：＜＜1.例4若關(guān)于的不等式的解集僅有一個元素，求的值。解：如圖：在同一坐標(biāo)系內(nèi)，作出與的圖象。題設(shè)條件等價于拋物線在直線與之間的帶狀區(qū)域僅有一個交點，且拋物線開口向上。由圖形的直觀性質(zhì)可知：這個交點只能在直線上，故方程組僅有一組解。即小結(jié)：對于含參方程（不等式），可將其與對應(yīng)的函數(shù)（圖象）聯(lián)系起來，運用數(shù)形結(jié)合

6、思想，去揭示問題中所蘊含的幾何背景，往往能為解題提供清晰的思路。4、求最值問題：例5已知、均為正數(shù)，且求的最小值。第7頁共7頁解：如圖，作線段AB=2，在AB上截取AE=，EB=，過A作ACAB，且AC=2，過B作BDAB，且BD=1。由勾股定理：CE=，BD=，原題即求CE+ED的最小值。又如圖，延長CA至G,使AG=AC，連接GE，由三角形兩邊之和大于第三邊，則G、E、D三點共線時，GE+ED=DG最短。作出圖形，延長DB至F，使BF//AG且BF=AG，連接GF.則在Rt△DGF中，DF=1

7、+2=3，GF=AB=2CE+DE的最小值是即的最小值是小結(jié)：此題由式子特點聯(lián)想勾股定理，構(gòu)造圖形解決問題。二、用代數(shù)與三角方法解決幾何問題：例6如圖，在△ABC中，AB＞AC，CF、BE分別是AB、AC邊上的高。試證：證法一：（三角法）因為，證法二：（代數(shù)法）由AB＞AC＞CF，AB＞BE及S△ABC＞＞,=.第7頁共7頁綜上：小結(jié)：以上兩種證明方法，分別采用了三角法與代數(shù)法，較之純幾何證法來，易于想到。例7如圖，在正△ABC的三邊AB、BC、CA上分別有點D、E、F.若DEBC，EFAC，F(xiàn)D

8、AB同時成立，求點D在AB上的位置.ADEFCB分析：先假設(shè)符合條件的點D、E、F已經(jīng)作出，再利用已知條件，尋找線段與角之間的數(shù)量關(guān)系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解。解：設(shè)AB=1，AD=因為△ABC為正三角形，且DEBC，EFAC，F(xiàn)DAB，故,,,而,即解得：即點D位于AB邊上分點處.小結(jié)：幾何中存在著這樣一類問題，即幾何圖形中的某些點的位置或線段的長度或角度的大小不能依題意畫出來，只有根據(jù)已知條件求出某一些量時，圖形才能畫出。而求那些量的方法，常常是通過列方程（組）