數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

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1、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用　　摘要：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)和形的關(guān)系式非常密切的，“數(shù)形結(jié)合”是初中數(shù)學(xué)中的一種重要方法和解題策略。數(shù)和形結(jié)合起來，能使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化，把數(shù)學(xué)題目中的一些抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，在具體的幾何圖形中尋找數(shù)量之間的聯(lián)系，由此可以達(dá)到化難為簡、化繁為易的目的?！　￡P(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合以形助數(shù)以數(shù)解形　　數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)有兩條線：一條是明線，即數(shù)學(xué)知識(shí)；一條是暗線，即數(shù)學(xué)思想方法?！熬拍曛屏x務(wù)教育”初中《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》把數(shù)學(xué)的精髓――數(shù)學(xué)思想方法納入了基礎(chǔ)知識(shí)范疇。初中數(shù)學(xué)新課程《標(biāo)準(zhǔn)》中，安排了“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計(jì)

2、與概率”“實(shí)踐與綜合”四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域，在每一個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域，都離不開兩要素---數(shù)與形。近觀數(shù)學(xué)中考壓軸題，都是代數(shù)、幾何高度綜合，“數(shù)形結(jié)合”作用突顯。在數(shù)形結(jié)合問題中，主要有兩個(gè)方面：一是“以形助數(shù)”，二是“以數(shù)解形”。下面結(jié)合以下幾個(gè)問題闡述的“數(shù)形結(jié)合”在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用?！　∫?、以形助數(shù)，化繁為易　　構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)與三角問題：　　1、證明恒等式：　　案例1已知x、y、z、r均為正數(shù)，且x2+y2=z2　　求證：rz=xy.　　分析：由x2+y2=z2，自然聯(lián)想到勾股定理。由可以聯(lián)想到射影定理。從而可以作出符合題設(shè)條件的圖形（如圖）。對照圖形，由直角三角形面積的兩種算法，結(jié)論

3、的正確性一目了然?！　∽C明：（略）　　小結(jié)：涉及到與平方有關(guān)的恒等式證明問題，可構(gòu)造出與之對應(yīng)的直角三角形或圓，然后利用圖形的幾何性質(zhì)去解決恒等式的證明問題?！　?、求最值問題：　　案例2已知、b均為正數(shù)，且求的最小值。　　解：如圖，作線段AB=2，在AB上截取AE=，　　EB=b，過A作AC⊥AB，且AC=2，過B作BD⊥AB，且BD=1。由勾股定理：CE=，BD=，原題即求CE+ED的最小值?！　∮秩鐖D，延長CA至G，使AG=AC，連接GE，由三角形兩邊之和大于第三邊，則G、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，GE+ED=DG最短。作出圖形，延長DB至F，使BF//AG且BF=AG，連接GF.　　則在

4、Rt△DGF中，DF=1+2=3，GF=AB=2　　∴CE+DE的最小值是　　即的最小值是　　小結(jié)：此題由式子特點(diǎn)聯(lián)想勾股定理，構(gòu)造圖形解決問題?！　《⒁詳?shù)解形，精化解題　　1、“以數(shù)解形”，在“數(shù)與式”教學(xué)中的應(yīng)用　　案例3：　　如圖，用火柴棒按以下方式搭小魚，搭1條小魚用8根火柴棒，搭2條小魚用14根，……，則搭n條小魚需要根火柴棒。（用含n的代數(shù)式表示）　　分析：第①個(gè)圖形，8根　　第②個(gè)圖形，8+6=1+6×1　　第③個(gè)圖形，8+6+6=1+6×2　　第n個(gè)圖形，8+6（n-1）=6n+2　　圖形規(guī)律探索題，重在考查學(xué)生的觀察、分析、歸納的能力，要使學(xué)生具備這些能力，需要教師在

5、平常教學(xué)中多引導(dǎo)。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生觀察分析各個(gè)圖形之間變化情況是其一，另一點(diǎn)是此類問題還要懂得將圖形變化情況數(shù)字化，找到數(shù)字與序號間一種隱性關(guān)系，從而將一個(gè)在不斷變化中幾何圖形代數(shù)化，達(dá)到精化解題目的。　　2、“以數(shù)解形”，在函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用　　案例4：　　小強(qiáng)每月的費(fèi)用都是根據(jù)上月他的家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間所得獎(jiǎng)勵(lì)加上基本生活費(fèi)從父母那里獲取的.若設(shè)小強(qiáng)每月的家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間為x小時(shí)，該月可得（即下月他可獲得）的總費(fèi)為y元，則y（元）和x（小時(shí)）之間的函數(shù)圖像如圖所示.　?。?）根據(jù)圖像，寫出小強(qiáng)每月的基本生活費(fèi)為多少元；父母是如何獎(jiǎng)勵(lì)小強(qiáng)勞動(dòng)的？　　（2）寫出當(dāng)0≤x≤20時(shí)，相對應(yīng)的y與x之間的函

6、數(shù)關(guān)系式；　　（3）若小強(qiáng)5月份希望有250元費(fèi)用，則小強(qiáng)4月份需做家務(wù)多少時(shí)間？　　分析：（1）這是最簡單的讀題，根據(jù)函數(shù)圖象的信息可知，小強(qiáng)每月的基本生活費(fèi)為150元，父母的獎(jiǎng)勵(lì)方法是：如果小強(qiáng)每月做家務(wù)的時(shí)間不超過20小時(shí)，每小時(shí)獲獎(jiǎng)勵(lì)2.5元；如果小強(qiáng)每月做家務(wù)的時(shí)間超過20小時(shí)，那么20小時(shí)每小時(shí)按2.5元獎(jiǎng)勵(lì)，超過部分按每小時(shí)獎(jiǎng)勵(lì)4元獎(jiǎng)勵(lì)；　?。?）根據(jù)函數(shù)圖象知，當(dāng)0≤x≤20時(shí)，它是一個(gè)一次函數(shù)圖象，即設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b.因?yàn)辄c(diǎn)（0，150），（20，200）在函數(shù)y=kx+b上，所以函數(shù)關(guān)系式為y=2.5x+150；　?。?）根據(jù)函數(shù)圖象知，當(dāng)x>2

7、0時(shí)，它也是一個(gè)一次函數(shù)圖象，即設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=k1x+b1。因?yàn)辄c(diǎn)（20，200），（30，240）在函數(shù)y=k1x+b1上，所以函數(shù)關(guān)系式為y=4x+120，當(dāng)y=250時(shí)，4x+120=250，解得x=32.5.　　評注：解從“數(shù)”到“形”的問題時(shí)，應(yīng)注意觀察函數(shù)圖象的形狀特征（包括分段函數(shù)），充分挖掘圖象中的已知條件，從而確定函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的圖象性質(zhì)來解.　　數(shù)學(xué)家華羅庚說得好：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離