立體幾何最值問題求解策略

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1、立體幾何最值問題求解策略王中華王廣敏最值問題一肓是高屮數(shù)學(xué)的重點和熱點問題，當(dāng)然，也是歷年高考試題都要涉及的題日。在立體兒何中，計算兒何體的最值往往有兩種方法：一是利用函數(shù)及重要不等式，二是利用化歸轉(zhuǎn)化思想將立體幾何中的極值問題轉(zhuǎn)化為平而幾何屮的極值問題。另外，解決幾何體的相切、相接問題的關(guān)鍵是注意兩個兒何體之間的等量關(guān)系。本文舉例說明立體兒何中的最值問題的求解策略。一.利用三角函數(shù)求最值例1?已知三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，側(cè)面ABB.A,是ZA]AB=60°的菱形，且平面ABBA丄平而ABC,M是A】B】上的動點。試求

2、使二而角A—BM—C的平面角最小時的三棱錐M—A,CB的體積。分析：婆使二面角A—BM—C的平而角最小，必須先構(gòu)建其平面角，如何構(gòu)建？如圖所示，取AB中點0,在MB±找一點P,因為C0垂直MB,剩下的問題只要使OP垂直于MB即可。這樣MB就垂直于平面CPO,則ZOPC就是所求的平面角。在RtACOP屮就轉(zhuǎn)化為求OP的最大值的問題，易發(fā)現(xiàn)此時點P即為點B,點M為線段A

3、Bi的中點。Ci解：取AB中點0,過0作0P丄BM,垂足為P,連結(jié)CP。VAB是平而A

4、B與平而ABC的交線，CO丄AB,且平而A

5、B丄平而ABC???C0丄平面A,

6、BMBu平面A]B,因此CO±MB而OPu平面COP,MB10P,ZOPC即為A】—BM—C的平面角。co在RtACOP中，tanZOPC=——OPCO為定長，ZOPC為最小，即OP為最人。當(dāng)且僅當(dāng)P與B重合時，0P最大，此時M點為A]B]的中點，BM丄AB。Vm-A]Cb=Vc_A[Mb=T*Saa^ib?°0=了解后反思：本題是一道探索性題，確定動點M使所求二面角最小的位置是關(guān)鍵。在求體積的過程中運用了等積變形。一.利用均值定理求最值例2?在棱長為a的正方體OABC—OABC中，E、F分別是棱AB、BC±的動點，且AE=BFo

7、(1)求證:A'F丄CE；(2)當(dāng)三棱錐B，—BEF的體積取得最大值時，求二面角B-EF-B的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)表示)。(1)證明：連結(jié)OF、CE、A，0,如圖所示。???AE=BF???EB=CF又OC=CB,ZOCF=ZCBE因此，AOCF二ACBE,ZECB=ZFOC,OF丄CE又VCC'丄平面AC,CE±OF???C'E丄OF乂VEB丄平而BC',C'B丄B'C???C'E丄B'C乂因為A'O//B'C,所以C'E丄A'OXVA,OnOF=O,CE丄AQ,CE丄OFACE丄平面ATO而ATu平面A'FO所以A'F丄C'

8、EA(2)解：設(shè)EB=y,BF=x,邊長為a,則x+y=a三棱錐B-BEF的體積V」xya<-f^^l=丄衛(wèi)6612丿24當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-時等號成立2因此，三棱錐B-BEF的體積取得最大值時BE=BF=-2過點B作BD1EF交EF于D,連結(jié)B，D,可得BD丄EF???ZB'DB是二面角B-EF-B的平面角在RtABEF小，直角邊BE=BF=-,BD是斜邊上的高，貝'JBD=—a,24RtanZB,DB=——=2^2。BD???二面角B'-EF-B的大小為arctan2^2。解后反思、：如果函數(shù)解析式符合基本不等式條件（或口J以轉(zhuǎn)

9、化為基木不等式形式），可以用基本不等式定理（均值定理）求解。（均值定理的條件是"一正，二定，三相等”）一.利用二次函數(shù)求最值例3?如圖所示，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂宜。點M在AC±移動，點N在BF±移動，^CM=BN=a（0

10、=1貝ijAC=BF=V2,—=-^,匹二莘1V21V2即CP=BQ=:.MN=PQ=J(1_CP)2+BQ2