立體幾何最值問題求解策略

《立體幾何最值問題求解策略》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在工程資料-天天文庫。

1、立體幾何最值問題求解策略王中華王廣敏最值問題一肓是高屮數學的重點和熱點問題，當然，也是歷年高考試題都要涉及的題日。在立體兒何中，計算兒何體的最值往往有兩種方法：一是利用函數及重要不等式，二是利用化歸轉化思想將立體幾何中的極值問題轉化為平而幾何屮的極值問題。另外，解決幾何體的相切、相接問題的關鍵是注意兩個兒何體之間的等量關系。本文舉例說明立體兒何中的最值問題的求解策略。一.利用三角函數求最值例1?已知三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，側面ABB.A,是ZA]AB=60°的菱形，且平面ABBA丄平而ABC,M是A】B】上的動點。試求

2、使二而角A—BM—C的平面角最小時的三棱錐M—A,CB的體積。分析：婆使二面角A—BM—C的平而角最小，必須先構建其平面角，如何構建？如圖所示，取AB中點0,在MB±找一點P,因為C0垂直MB,剩下的問題只要使OP垂直于MB即可。這樣MB就垂直于平面CPO,則ZOPC就是所求的平面角。在RtACOP屮就轉化為求OP的最大值的問題，易發(fā)現此時點P即為點B,點M為線段A

3、Bi的中點。Ci解：取AB中點0,過0作0P丄BM,垂足為P,連結CP。VAB是平而A

4、B與平而ABC的交線，CO丄AB,且平而A

5、B丄平而ABC???C0丄平面A,

6、BMBu平面A]B,因此CO±MB而OPu平面COP,MB10P,ZOPC即為A】—BM—C的平面角。co在RtACOP中，tanZOPC=——OPCO為定長，ZOPC為最小，即OP為最人。當且僅當P與B重合時，0P最大，此時M點為A]B]的中點，BM丄AB。Vm-A]Cb=Vc_A[Mb=T*Saa^ib?°0=了解后反思：本題是一道探索性題，確定動點M使所求二面角最小的位置是關鍵。在求體積的過程中運用了等積變形。一.利用均值定理求最值例2?在棱長為a的正方體OABC—OABC中，E、F分別是棱AB、BC±的動點，且AE=BFo

7、(1)求證:A'F丄CE；(2)當三棱錐B，—BEF的體積取得最大值時，求二面角B-EF-B的大小(結果用反三角函數表示)。(1)證明：連結OF、CE、A，0,如圖所示。???AE=BF???EB=CF又OC=CB,ZOCF=ZCBE因此，AOCF二ACBE,ZECB=ZFOC,OF丄CE又VCC'丄平面AC,CE±OF???C'E丄OF乂VEB丄平而BC',C'B丄B'C???C'E丄B'C乂因為A'O//B'C,所以C'E丄A'OXVA,OnOF=O,CE丄AQ,CE丄OFACE丄平面ATO而ATu平面A'FO所以A'F丄C'

8、EA(2)解：設EB=y,BF=x,邊長為a,則x+y=a三棱錐B-BEF的體積V」xya<-f^^l=丄衛(wèi)6612丿24當且僅當x=y=-時等號成立2因此，三棱錐B-BEF的體積取得最大值時BE=BF=-2過點B作BD1EF交EF于D,連結B，D,可得BD丄EF???ZB'DB是二面角B-EF-B的平面角在RtABEF小，直角邊BE=BF=-,BD是斜邊上的高，貝'JBD=—a,24RtanZB,DB=——=2^2。BD???二面角B'-EF-B的大小為arctan2^2。解后反思、：如果函數解析式符合基本不等式條件（或口J以轉

9、化為基木不等式形式），可以用基本不等式定理（均值定理）求解。（均值定理的條件是"一正，二定，三相等”）一.利用二次函數求最值例3?如圖所示，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂宜。點M在AC±移動，點N在BF±移動，^CM=BN=a（0

10、=1貝ijAC=BF=V2,—=-^,匹二莘1V21V2即CP=BQ=:.MN=PQ=J(1_CP)2+BQ2