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《數(shù)值分析第二講》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第二章線性方程組的直接解法§2.1引言在自然科學和工程技術(shù)中,很多問題歸結(jié)為解線性方程組.有的問題的數(shù)學模型中雖不直接表現(xiàn)為含線性方程組,但它的數(shù)值解法中將問題“離散化”或“線性化”為線性方程組.因此線性方程組的求解是數(shù)值分析課程中最基本的內(nèi)容之一.線性方程組:?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2?(2.1)??????????????ax?ax???ax?b?n11n22nnnn常記為矩陣形式Ax=b(2.2)1結(jié)束此時A是一個n×n方陣,x和
2、b是n維列向量.根據(jù)線性代數(shù)知識若｜A
3、≠0,(2.2)的解存在且唯一.關(guān)于線性方程組的解法一般分為兩大類,一類是直接法,即經(jīng)過有限次的算術(shù)運算,可以求得(2.1)的精確解(假定計算過程沒有舍入誤差).如線性代數(shù)課程中提到的克萊姆算法就是一種直接法.但該法對高階方程組計算量太大,不是一種實用的算法〔１〕.實用的直接法中具有代表性的算法是高斯消元法,其它算法都是它的變形和應用.另一類是迭代法,它將(2.1)變形為某種迭代公式,給出初始解x,用迭0代公式得到近似解的序列｛x｝,k=0,1,2,?,在一定的條
4、件下x→x*(kk精確解).迭代法顯然有一個收斂條件和收斂速度問題.這兩種解法都有廣泛的應用,我們將分別討論,本章介紹直接法.2結(jié)束§2.2高斯(Gauss)消元法高斯消元法是一種古老的方法.我們在中學學過消元法,高斯消元法就是它的標準化的、適合在計算機上自動計算的一種方法.2.2.1高斯消元法的基本思想例1解方程組?x1?2x2?3x3?1(2.3)??2x1?7x2?5x3?6(2.4)?x?4x?9x??3(2.5)?123第一步,將(2.3)乘-2加到(2.4)；(2.3)乘-1加到(2.5),
5、得到?x1?2x2?3x3?1(2.3)??3x2?x3?4(2.6)?2x?6x??4(2.7)?233結(jié)束第二步,將(2.6)乘-2/3加到(2.7),得到??x1?2x2?3x3?1?(2.3)?3x2?x3?4?2020(2.6)x???3(2.8)?33回代:解(2.8)得x,將x代入(2.6)得x,將x,x代入(2.3)33223得x,得到解x*=(2,1,-1)T1容易看出第一步和第二步相當于增廣矩陣［Ａ:b］在作行變換,用r表示增廣陣［A:b］的第i行:i?123?1?r2??2r1?r
6、2?123?1??A:b???275?6???r3???r1??r3??03?1?4???????149??3????026??4??4結(jié)束??2?123?1?r3???r2?r3???3????03?1?4??2020??00????33?由此看出上述過程是逐次消去未知數(shù)的系數(shù),將Ax=b化為等價的三角形方程組,然后回代解之,這就是高斯消元法.2.2.2高斯消元法公式記Ax=b為A(1)x=b(1),A(1)和b(1)的元素記為a(1)和b(1),ijii,j=1,2,?,n.第一次消元,目的是消掉第
7、二個方程到第n個方程中的x項,得到A(2)x=b(2),這個過程須假定a(1)≠0.1115結(jié)束?(1)(1)(1)(1)aa?ab?11121n1?a(1)a(1)?a(1)b(1)?ri??li1?r1?ri?A(1):b(1)???21222n2??????????????(i?2,3,?,n)??(1)(1)(1)(1)??an1an2?annbn???(1)(1)(1)(1)aa?ab?11121n1?(2)(2)(2)?0a?ab?222n2???A(2):b(2)??????????(2)
8、(2)(2)??0an2?annbn??在［A(1):b(1)］中,紅方框中的元素是要化為0的部分；［A(2):b(2)］中,紅方框中的元素全部已發(fā)生變化,故上標由(1)改(2),計算公式為:6結(jié)束(1)?al?i1(i=2,3,?,n)?i1(1)a?11?a(2)?a(1)?la(1)(i,j=2,3,?,n)?ijiji11j?(2)a?0(i=2,3,?,n)?i1?b(2)?b(1)?lb(1)(i=2,3,?,n)?iii11第k次消元(1≤k≤n-1)(k)設(shè)第k-1次消元已完成,且akk
9、≠0,此時增廣矩陣如下:?(1)(1)(1)(1)(1)aa?a?ab?11121k1n1?(2)(2)(2)(2)?a?a?ab?222k2n2?????????(k)(k)?A:b???(k)(k)(k)?akk?aknbk?????????(k)(k)(k)??ank?annbn??7結(jié)束本次消元的目的是對框內(nèi)部分作類似第一次消元的處理,消a(k)(k)掉第k+1個方程到第n個方程中的xk項,即把k?1,k到ank化為零.計算公式如下
