數(shù)值分析第七講

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1、第七章數(shù)據(jù)擬合與函數(shù)逼近7.1擬合與逼近本章繼續(xù)討論用簡(jiǎn)單函數(shù)近似代替較復(fù)雜函數(shù)的問題.上章提到的插值就是近似代替的方法之一,插值的近似標(biāo)準(zhǔn)是在插值點(diǎn)處誤差為零.但在實(shí)際應(yīng)用中,有時(shí)不要求具體某些點(diǎn)誤差為零,而要求考慮整體的誤差限制,這就引出了擬合和逼近的概念.7.1.1數(shù)據(jù)擬合對(duì)離散型函數(shù)(即數(shù)表形式的函數(shù))考慮數(shù)據(jù)較多的情況.若將每個(gè)點(diǎn)都當(dāng)作插值節(jié)點(diǎn),則插值函數(shù)是一個(gè)次數(shù)很高的多項(xiàng)式,比較復(fù)雜.而且由于龍格振蕩現(xiàn)象,這個(gè)高次的插值多項(xiàng)式可能并不接近原函數(shù).同時(shí)由于數(shù)表中的點(diǎn)一般是由觀察測(cè)量所得,往往帶有隨機(jī)誤差,要求近似函數(shù)過所有的點(diǎn)既不現(xiàn)實(shí)也不必要.1結(jié)束如果不是要求近似函數(shù)過

2、所有的數(shù)據(jù)點(diǎn),而是要求它反映原函數(shù)整體的變化趨勢(shì),可得到更簡(jiǎn)單更適用的近似函數(shù),這樣的方法稱為數(shù)據(jù)擬合.數(shù)據(jù)擬合最常用的近似標(biāo)準(zhǔn)是最小二乘法則：設(shè)f(x)為原函數(shù),?(x)為近似函數(shù),(xi,f(xi))(i=0,1,…,n)為數(shù)據(jù)點(diǎn),要求選擇?(x)使n2??f(xi)??(xi)?i?0為最小.當(dāng)?(x)選擇為多項(xiàng)式時(shí),稱為多項(xiàng)式擬合.最小二乘擬合,特別是多項(xiàng)式擬合,是最流行的數(shù)據(jù)處理方法之一.它常用于把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(離散的數(shù)據(jù))歸納總結(jié)為經(jīng)驗(yàn)公式(連續(xù)的函數(shù)),以利于進(jìn)一步的推演分析或應(yīng)用.2結(jié)束7.2超定方程組的最小二乘解設(shè)Ax=b中A=(a),b是m維已知向量,x是n維解向量.

3、當(dāng)m>n時(shí),即ijm×n方程組中方程的個(gè)數(shù)多于未知量個(gè)數(shù)時(shí),稱此方程組為超定方程組或矛盾方程組.一般說,超定方程組無解.但有時(shí)需要尋找一個(gè)“最近似”的解.記r=b-Ax,定義使‖r‖2為最小的解x*為Ax=b的最小二乘解.關(guān)于超定方程組的最小二乘解有如下定理：定理7.1x*為Ax=b的最小二乘解的充要條件為ATAx*=ATb.證明(略)以上定理說明求解超定方程組Ax=b的最小二乘解可轉(zhuǎn)化為求解它對(duì)應(yīng)的正規(guī)方程組ATAx*=ATb.ATA是對(duì)稱正定的系數(shù)陣,此方程組可用平方根法或SOR方法求解.3結(jié)束7.3多項(xiàng)式擬合仍假設(shè)有已知數(shù)據(jù)組(x,y)(i=0,1,2,…,m).現(xiàn)求作一個(gè)不超

4、過iinn(n

5、??a1??y1?????????????????????2n??a??y??1xmxm?xm??n??m?是一個(gè)超定方程組.由定理7.1可得對(duì)應(yīng)的正規(guī)方程組2n??m?1?xi?xi??xi???a0????yi????23n?1??xi?xi?xi??xi??a1???xiyi???????????????????????xn?xn?1?xn?2??x2n??a???xny??iiii??n??ii?以上的∑記號(hào)均為從0到m求和,記mmkkSk??xi,tk??xiyi.(i?0,1,2,?,m,m?n)i?0i?0則上式可改寫為5結(jié)束?S0S1S2?Sn??a0??t0????

6、????S1S2S3?Sn?1??a1??t1???????????????????????????SSS?Sat?nn?1n?22n??n??n?通過解該正規(guī)方程組便可解出a,從而確定出擬合多項(xiàng)式P(x).kn多項(xiàng)式擬合的一般方法可歸納為：(1)根據(jù)具體問題,確定擬合多項(xiàng)式的次數(shù)n；mmkk(2)計(jì)算Sk??xi,tk??xiyi.i?0i?0(3)寫出正規(guī)方程組(4)解正規(guī)方程組,求出a,a,…,a；01n(5)寫出擬合多項(xiàng)式P(x)n6結(jié)束設(shè)正規(guī)方程組的解為：****a?a,a?a,a?a,?,a?a001122nn則以此解為系數(shù)的多項(xiàng)式****2*np(x)?a?ax?ax?

7、??axn012n就是最小二乘擬合多項(xiàng)式。例1設(shè)5組數(shù)據(jù)如下表,用一多項(xiàng)式對(duì)其進(jìn)行擬合。x356810y521247結(jié)束解首先作平面散點(diǎn)圖如下：y54321x012345678910從圖中觀察,這5個(gè)點(diǎn)大致在一條拋物線的附近,可考慮2用二次多項(xiàng)式p(x)?a?ax?ax進(jìn)行擬合。2012然后計(jì)算正則方程組(m=4)8結(jié)束2?5a0???xi?a1???xi?a2??yi????2??3???xia0??xia1??xia2??xiyi??2??3??4?2