1.3.2 函數(shù)的最值

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1、1.3.2函數(shù)的最值【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解函數(shù)的最大(小)值及其幾何意義．2．學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)．1．函數(shù)的最大值f(x0)＝M一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得__________．那么稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值．練習(xí)1：函數(shù)f(x)＝3x在[0,3]上的最大值是________．9f(x)≤M2．函數(shù)的最小值f(x0)＝M一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得__________．那么稱M是函數(shù)y＝

2、f(x)的最小值．3f(x)≥M函數(shù)最高點(diǎn)最低點(diǎn)f(x)＝－2x＋3f(x)＝－2x＋3，x∈[－1,2]f(x)＝x2＋2x＋1f(x)＝x2＋2x＋1，x∈[－2,2]【問題探究】完成下表：無(wú)無(wú)5－1無(wú)090對(duì)于一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，不一定有最值，若有最值，則最值一定是值域中的一個(gè)元素．上表體現(xiàn)了函數(shù)值的什么特征？答案：表格從上到下，從左到右依次填：題型1利用圖象求最值【例1】求下列函數(shù)的最大值和最小值：圖D11解：(1)二次函數(shù)y＝3－2x－x2的對(duì)稱軸為x＝－1.畫出函數(shù)的圖象，由圖D11，可知：【變式與拓展】1．圖1-3-2為函數(shù)y＝f(x)，x∈[－4,7]的圖象，指出它的最大值、最小值

3、及單調(diào)區(qū)間．圖1-3-2解：當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)y＝f(x)取最大值為3；當(dāng)x＝－1.5時(shí)，函數(shù)y＝f(x)取最小值為－2.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1.5,3)，[5,6)；單調(diào)遞減區(qū)間為[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．題型2利用單調(diào)性求函數(shù)的最值問題思維突破：先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求其最值．∴f(x1)－f(x2)>0.∴f(x)在[1,2]上是減函數(shù)．運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的重要方法，特別是當(dāng)函數(shù)的圖象不易作出時(shí)，用函數(shù)的單調(diào)性求最值幾乎成為首選方法．【變式與拓展】2．函數(shù)y＝4x－2在區(qū)間[3,6]上是單調(diào)遞________函數(shù)，最小值是________．減13．求

4、函數(shù)f(x)＝xx－1在區(qū)間[2,5]上的最大值與最小值．解：任取2≤x10，x1－1>0.∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(2)方法一：f(x)＞0對(duì)x∈[1，＋∞)恒成立?x2＋2x＋a＞0對(duì)x∈[1，＋∞)恒成立．設(shè)y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，則y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上是增函數(shù)，從而ymi

5、n＝3＋a.于是當(dāng)且僅當(dāng)ymin＝3＋a＞0，即a>－3時(shí)，f(x)>0對(duì)x∈[1，＋∞)恒成立，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－3，＋∞)．方法二：f(x)>0對(duì)x∈[1，＋∞)恒成立?x2＋2x＋a>0對(duì)x≥1恒成立?a>－x2－2x對(duì)x≥1恒成立．令μ＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，其在[1，＋∞)上是減函數(shù)，∴當(dāng)x＝1時(shí)，μmax＝－3.因此a>－3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－3，＋∞)．【變式與拓展】4．A，B兩城相距100km，在兩地之間距A城xkm處的D地建一核電站給A，B兩城供電．為保證城市安全，核電站距城市距離不得少于10km.已知每個(gè)城市的供電費(fèi)用和供電距離的平方與供電量之積成

6、正比，比例系數(shù)λ＝0.25，若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月．(1)把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)，并求其定義域；(2)核電站建在距A城多遠(yuǎn)，才能使供電費(fèi)用最?。猓?1)由題意知，核電站距離B城的距離為(100－x)km，則又x≥10，且100－x≥10，則有10≤x≤90.故y與x的函數(shù)關(guān)系式為【例4】已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5].(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求f(x)的最大值和最小值；(2)求使函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－5，5]上是單調(diào)函數(shù)的a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈－5，5，所以f(x)min＝

7、f(1)＝1，f(x)max＝f(－5)＝37.(2)函數(shù)y＝f(x)的對(duì)稱軸為x＝－a，函數(shù)在區(qū)間[－5，5]上是單調(diào)函數(shù)，即－a≤－5或－a≥5，解得a≤－5或a≥5.[方法·規(guī)律·小結(jié)]1．函數(shù)的最值與其值域、單調(diào)性之間的關(guān)系．(1)函數(shù)的最值與其值域的關(guān)系．對(duì)一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，其值域是確定的，但它不一定有最值，有的函數(shù)只有最大值而無(wú)最小值，如y＝－x2；有的函數(shù)只有最小值而無(wú)最大值，如y＝x2；有的函數(shù)既