層次分析法AHP

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1、層次分析法一、層次分析法簡(jiǎn)介美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家Saaty于20世紀(jì)70年代初提出了著名的層次分析法(AnalyticHierarchyProcess簡(jiǎn)稱AHP)。層次分析法是將與決策有關(guān)的元素分解成目標(biāo)、準(zhǔn)則、方案等層次，在此基礎(chǔ)之上進(jìn)行定性和定量分析的決策方法。該方法具有系統(tǒng)、靈活、簡(jiǎn)潔的優(yōu)點(diǎn)。運(yùn)用層次分析法建模來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，可按如下五個(gè)步驟：步驟l定義問(wèn)題，確定目標(biāo)步驟2從最高層(目標(biāo)層)，通過(guò)中間層(準(zhǔn)則層)到最低層(方案層)構(gòu)成一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型步驟3兩兩比較打分，確定下層對(duì)上層的分?jǐn)?shù)準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。引用數(shù)字

2、1-9及其倒數(shù)作為標(biāo)度來(lái)定義判斷矩陣A=(aij)n×n(見(jiàn)表1)。表1判斷矩陣標(biāo)度定義標(biāo)度含義含義l表示兩個(gè)因素相比，具有相同重要性3表示兩個(gè)因素相比，前者比后者稍重要5表示兩個(gè)因素相比，前者比后者明顯重要7表示兩個(gè)因素相比，前者比后者強(qiáng)烈重要9表示兩個(gè)因素相比，前者比后者極端重要2，4，6，8表示上述相鄰判斷的中間值倒數(shù)若因素i與因素j的重要性之比為aij，那么因素j與因素i重要性之比為1aij步驟4層次合成計(jì)算步驟5一致性檢驗(yàn)1)計(jì)算一致性指標(biāo)CI(consmtencyindex)CI=λmax-nn-1其中，λmax為判斷矩陣的最大特征值。2)查找一致性指標(biāo)RI(見(jiàn)表2)表2平

3、均隨機(jī)一致性指標(biāo)n1234567891011121314RI0OO.520．891．121.241.361.411．461．491．521．541．561．583)計(jì)算一致性比例CR(consistencyratio)CR=CIRI當(dāng)CR<0.10時(shí)，認(rèn)為通過(guò)了一次性檢驗(yàn)，否則應(yīng)作適當(dāng)修正。二、層次分析法權(quán)重向量W計(jì)算方法層次分析法有四種計(jì)算方法求權(quán)重：算術(shù)平均法、幾何平均法、特征向量法、最小二乘法。1、算術(shù)平均法(求和法)由于判斷矩陣A中的每一列都近似地反映了權(quán)值的分配情形，故可采用全部列向量的算術(shù)平均值來(lái)估計(jì)權(quán)向量。即Wi=1nj=1naijk=1nakj，i=1，2，…，n計(jì)算步

4、驟：①A的元素按列歸一化，即求aijk=1nakj；②將歸一化后的各行相加；③將相加后的向量除以n即得權(quán)重向量。2、幾何平均法(方根法)Wi=(j=1naij)1ni=1n(j=1naij)1n，i=1，2，…，n計(jì)算步驟：①A的元素按行相乘得一新向量；②將新向量的每個(gè)分量開(kāi)n次方；③將所得向量歸一化即為權(quán)重向量。3、特征向量法將權(quán)重向量W右乘權(quán)重比矩陣A，有AW=λmaxW同上，λmax為判斷矩陣的最大特征值，存在且唯一，W的分量均為正分量。最后，將求得的權(quán)重向量作歸一化處理即為所求。4、最小二乘法用擬合方法確定權(quán)重向量，使殘差平方和為最?。辞蠼馊缦履Ｐ停簃inZ=i=1nj=1n

5、(aijwj-wi)2s.t.i=1nwi=1，wi>0，i=1，2，…，n三、層次分析法在選擇旅游地分析中的應(yīng)用1、國(guó)慶假期打算出去旅游，有3個(gè)旅游目的地：桂林、黃山、北戴河，按照景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途等因素選擇。2、3、景色費(fèi)用居住飲食旅途景色11/2433費(fèi)用21755居住1/41/711/21/3飲食1/31/5211旅途1/31/5311即：A=1124332175514171121313152111315311λmax=5.073，CI=5.073-55-1=0.018隨機(jī)一致性指標(biāo)RI=1.12（查表）CR=0.0181.12=0.016<0.1，通過(guò)一次性檢驗(yàn)。第

6、3層(方案)對(duì)第2層每一元素(準(zhǔn)則)：景色P1P2P3P1125P21/212P31/51/21λmax=3.0055，CR=0.002750.52=0.0053<0.1，通過(guò)一次性檢驗(yàn)。費(fèi)用P1P2P3P111/31/8P2311/3P3831λmax=3.0015，CR=0.000750.52=0.0014<0.1，通過(guò)一次性檢驗(yàn)。居住P1P2P3P1124P21/212P31/41/21λmax=3，CR=00.52=0<0.1，通過(guò)一次性檢驗(yàn)。飲食P1P2P3P1131/2P21/311/5P3251λmax=3.0037，CR=0.001850.52=0.0036<0.1，通

7、過(guò)一次性檢驗(yàn)。旅途P1P2P3P1125P21/212P31/51/21λmax=3.0055，CR=0.002750.52=0.0053<0.1，通過(guò)一次性檢驗(yàn)。4、層次合成計(jì)算①算術(shù)平均法(求和法)景色費(fèi)用居住飲食旅途權(quán)重景色0.2553230.244750.2352940.2857140.2903240.262費(fèi)用0.5106470.48950.4117650.476190.4838730.474居住0.0638310.069950.05