AHP層次分析法簡(jiǎn)介

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1、16層次分析法—AHP簡(jiǎn)介(TheAnalgticHierarachyProcess----AHP)前言最優(yōu)化技術(shù)在決策分析中占著極重要的位置，數(shù)學(xué)模型在最優(yōu)化技術(shù)中占著統(tǒng)治地位；由于系統(tǒng)越來(lái)復(fù)雜，數(shù)學(xué)模型也越來(lái)越復(fù)雜，掌握運(yùn)用困難很多，并且隨著復(fù)雜性增加，模型解與實(shí)際要求距離也在增加。事實(shí)上，數(shù)學(xué)模型也非萬(wàn)能，決策中大量因素?zé)o法定量表示，所以，有時(shí)人們不得不回到?jīng)Q策的起點(diǎn)和終點(diǎn)：——人的選擇和判斷，需要認(rèn)真地研究選擇和判斷的規(guī)律，這就是AHP產(chǎn)生的背景。匹茲堡大學(xué)Saaty教授于七十年代中期提出層次分析法AHP。于80年

2、代初由Saaty的學(xué)生介紹到我國(guó)。層次分析AHP的特點(diǎn)：1.輸入信息主要是決策者的選擇和判斷。決策過(guò)程充分反映了決策者對(duì)決策問題的認(rèn)識(shí)；2.簡(jiǎn)潔性：基于高中知識(shí)，可不用計(jì)算機(jī)完成計(jì)算；3.實(shí)用性：能進(jìn)行定量分析，也可定性分析；而通常最優(yōu)化方法只能用于定量分析；4.系統(tǒng)性：人們決策大致分三種：（因果判斷、概率推斷和系統(tǒng)推斷），AHP把問題看作一個(gè)系統(tǒng)屬于第三種，真正要搞清楚AHP原理，需要深刻的數(shù)學(xué)背景。好在我們只重應(yīng)用，并不過(guò)多涉及AHP的數(shù)學(xué)背景。AHP的主要不足在于：1.AHP只能用于選擇方案，而不能生成方案；主觀性太

3、強(qiáng)，從層次結(jié)構(gòu)建立，判斷矩陣的構(gòu)造，均依賴決策人的主觀判斷，選擇，偏好，若判斷失誤，即可能造成決策失誤。規(guī)劃論——采用較嚴(yán)格的數(shù)學(xué)計(jì)算，把人的主觀性降到最低程度；但有些決策結(jié)果令決策人難以接受。AHP——從本質(zhì)上講是試圖使人的判斷條理化，所得結(jié)果基本上依據(jù)人的主觀判斷，當(dāng)決策者的判斷因受個(gè)人偏好影響對(duì)客觀規(guī)律歪曲時(shí)，AHP的結(jié)果顯然靠不住，所以，AHP中通常是群組判斷方式。盡管AHP在理論上尚不完善，應(yīng)用中也有缺陷；但由于AHP簡(jiǎn)單、實(shí)用，仍被視為是多目標(biāo)決策的有效方法，至今仍被廣泛應(yīng)用的一種無(wú)結(jié)構(gòu)決策方法?！?AHP預(yù)備

4、知識(shí)（一）1.特征根與特征向量設(shè)為n階方陣，若存在常數(shù)和非零n維向量，使得(1)則稱，是矩陣A的特征根（或特征值），非零向量是矩陣A關(guān)于特征根的特征向量。1.1特征根的求法由（1）得，這是一個(gè)n元一次線性齊次方程組，按題意該方程組有非零解，則其充分必要條件為：系數(shù)行列式為零，即（2）稱（2）式為矩陣A的特征方程，它是一個(gè)一元n1–1616次方程，由代數(shù)基本定理知，該方程有且只有n個(gè)根。2.重量模型設(shè)為n個(gè)物體，重量分別是。但是，我們并不知道物體的重量，只知兩兩之間重量比的比值：設(shè)準(zhǔn)則C為重量，問題是：已知，在準(zhǔn)則C下對(duì)元素

5、排序，也就是按其重量大小排序已知。顯然滿足（1）（2）：（1）（2）（3）但是，（3）式通常不被滿足，滿足（1）、（2）的A為正互反矩陣；滿足（1）、（2）并且（3）也成立時(shí)的稱為一致性判斷矩陣。問題是：已知判斷矩陣A，在準(zhǔn)則C下對(duì)n個(gè)物體排序。即按重量大小排序。如果，是，，是重量的精確值，此時(shí)（3）式必定成立，即A是一致性矩陣。令則顯見n是方陣A的特征根，g是A的與對(duì)應(yīng)的特征向量；事實(shí)上此時(shí)不難驗(yàn)證：n是方陣A=(aij)的最大特征根，其余n-1個(gè)特征根全為零，而g是A的與最大特征根n對(duì)應(yīng)的特征向量。（證明見附錄）g的n

6、個(gè)分量是物體的相對(duì)重量，因此，可按此對(duì)排序。如果對(duì)矩陣A有一個(gè)小的擾動(dòng)，即不再是真實(shí)重量的比值，這時(shí)顯然A不滿足一致性條件，此時(shí)A的最大特征根不再是n；因擾動(dòng)很小，自然離n不遠(yuǎn)，這時(shí)對(duì)應(yīng)的特征向量雖然不會(huì)是n個(gè)物體的真實(shí)重量，但是，變動(dòng)也不會(huì)太大。我們?cè)O(shè)想：如果擾動(dòng)不大，則離n就不遠(yuǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的特征向量與差不多，如果不改變g的各分量的大小次序，則同樣給出n個(gè)物體按重量大小的真實(shí)排序。這樣，對(duì)不滿足一致性的正互反矩陣，我們求其最大特征根，再求與對(duì)應(yīng)的特征向量g，則可按g對(duì)n個(gè)物體按重量大小排序。但是，這一番理論有幾個(gè)疑點(diǎn)：①

7、當(dāng)A不滿足一致性時(shí)，A還有沒有最大正的特征根；②既使A1–1616有最大特征根，那么，這個(gè)最大特征根對(duì)應(yīng)的特征向量的全部分量能否還是正數(shù)？因?yàn)?，該特征向量的各個(gè)分量對(duì)應(yīng)的是n個(gè)物體的相對(duì)重量（特征向量乘一個(gè)非零常數(shù)仍是特征向量）。因?yàn)榫仃嚧鷶?shù)中Perro—Frobineus理論明確地回答了這個(gè)問題。Perro-Frobineus定理：1.正矩陣存在重?cái)?shù)為1重的正特征根，其它特征根的模均小于這個(gè)正特征根，該正特征根對(duì)應(yīng)的特征向量可以全部由正分量組成，經(jīng)“歸一化”處理后該特征向量是帷一的。（證明略）Perron定理明白地告訴我

8、們，對(duì)正的互反矩陣A，既使它不滿足一致性，也一定存在最大正的實(shí)特征根，它對(duì)應(yīng)的特征向量的各個(gè)分量都可以是正數(shù)，并且“歸一化”后是帷一的。但是，我們能否按這個(gè)“歸一化”后是帷一的特征向量對(duì)n個(gè)物體按重量大小排序呢？或說(shuō)這個(gè)“歸一化”后的特征向量是否會(huì)改變擾動(dòng)前的一致性矩陣A的最大特征根=n對(duì)應(yīng)的特征向量的