構(gòu)造法在解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中的運(yùn)用二

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1、2005年第9期11構(gòu)造法在解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中的運(yùn)用(二)何念如　　陳　艷(華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,430079)　　文[1]已從5個(gè)方面介紹了構(gòu)造法在解

2、ab+2bc+3ac

3、=4=.數(shù)學(xué)賽題中的運(yùn)用,本文再介紹4個(gè)方面.23×3因此,ab+2bc+3ac=243.1　構(gòu)造解析幾何模型2　構(gòu)造對(duì)應(yīng)關(guān)系例1　已知a、b、c>0,且2a2+ab+b=25,例2　在給定的圓周上取定n(n≥6)個(gè)3點(diǎn),每?jī)牲c(diǎn)間連一條線(xiàn)段,其中任意三條線(xiàn)段2b2+c=9,在圓內(nèi)都不共點(diǎn).求這些線(xiàn)段確定的且頂點(diǎn)3222在圓內(nèi)的三角形的個(gè)數(shù).a+aba+ac+c=16.分

4、析:在圓周上任取6點(diǎn),順次間隔兩個(gè)試求ab+2bc+3ac的值.點(diǎn)連線(xiàn)得到的三條線(xiàn)段總可以在圓內(nèi)組成一分析:此題直接求解不易.觀察方程組右個(gè)三角形(任意三條線(xiàn)段在圓內(nèi)都不共點(diǎn)),邊的數(shù)是一組勾股數(shù),故可表示成一個(gè)直角即確定6個(gè)點(diǎn)也就確定一個(gè)三角形;反之,在三角形的三邊,有兩邊互相垂直,于是,可建圓內(nèi)的一個(gè)三角形延長(zhǎng)它的三邊總可以和圓立平面直角坐標(biāo)系,由直線(xiàn)的垂直關(guān)系和點(diǎn)相交于6個(gè)點(diǎn),也就是說(shuō)一個(gè)確定的三角形到直線(xiàn)的距離來(lái)求解.和圓上的6個(gè)點(diǎn)的一種取法是對(duì)應(yīng)的,也即解:建立如圖16個(gè)點(diǎn)的取法組成的集合和圓內(nèi)的三角形組所示的直角坐標(biāo)系.則成的集合的

5、個(gè)數(shù)是相等的.因此,可以在這兩A-3b,c,個(gè)集合之間構(gòu)造對(duì)應(yīng)關(guān)系,把不能直接計(jì)算3個(gè)數(shù)的三角形集合轉(zhuǎn)化成能計(jì)算個(gè)數(shù)的6個(gè)B3a,a+2c.點(diǎn)的取法組成的集合,使問(wèn)題得以解決.22解:設(shè)符合題意的所有三角形的集合為有OA=3,圖1A,△A1A2A3∈A,延長(zhǎng)△A1A2A3的三邊交2232a+4ac+4cOB=a+圓周于點(diǎn)B1、B2、B3、4422B4、B5、B6(如圖2).設(shè)=a+ac+c=4,222從n個(gè)給定的點(diǎn)中任AB=5,OA+OB=AB.意取6個(gè)點(diǎn)的所有取法故△ABC是直角三角形.6的集合為B,

6、B

7、=Cn,3又直線(xiàn)OA的方程為3by+

8、cx=0,且則6個(gè)點(diǎn)B1、B2、B3、圖2OA⊥OB,所以,點(diǎn)B到OA的距離為B4、B5、B6就確定了一3a+2c3種取法α∈B.b·+c·a322建立A到B的映射φ:232設(shè)△A1A2A3∈A,令b+c312中等數(shù)學(xué)φ(△A1A2A3)=α.如果S中有3個(gè)人,設(shè)為L(zhǎng)、M、N.若他易看出,對(duì)不同的△A1A2A3∈A,按上述們互相認(rèn)識(shí),則命題為真;否則有2個(gè)人互不方法所確定的6點(diǎn)組{B1,B2,B3,B4,B5,相識(shí),設(shè)為L(zhǎng)、M,連同A有3個(gè)人互不相識(shí),B6}也不同,從而,φ(△A1A2A3)也不同,即φ則命題也真.是單射;注:本題還可以用6個(gè)點(diǎn)

9、來(lái)表示6個(gè)人,設(shè)取法α∈B,則可按取法α在圓周上互相認(rèn)識(shí)的兩點(diǎn)之間用紅線(xiàn)相連,互相不認(rèn)確定按逆時(shí)針順序排列的6個(gè)點(diǎn)B1、B2、B3、識(shí)的兩點(diǎn)用藍(lán)線(xiàn)相連,可以證明這15條線(xiàn)段中必有3條組成同色三角形.這是拉姆賽問(wèn)B4、B5、B6,聯(lián)結(jié)B1B4、B2B5、B3B6便得到題的另一種表示方式,拉姆賽問(wèn)題是一個(gè)很△A1A2A3∈A,即φ(△A1A2A3)=α,故φ是重要的命題,一些存在性問(wèn)題都可以利用它滿(mǎn)射.得以解決.所以,φ是雙射.因此,有

10、A

11、=

12、B

13、=C6.[2]n4　構(gòu)造問(wèn)題的輔助命題3　構(gòu)造抽屜例4　設(shè)數(shù)列a0,a1,a2,?滿(mǎn)足條件112例3

14、　世界上任意6個(gè)人中至少存在3a0=,ak+1=ak+ak(k=0,1,2,?),2n個(gè)人或是互不認(rèn)識(shí)或是互相認(rèn)識(shí).其中n是某個(gè)固定的自然數(shù).求證:這就是著名的拉姆賽(Ramsey)問(wèn)題.11-

15、系,并且1考慮把1-略放大一點(diǎn)兒,由于n問(wèn)題的結(jié)論是存在性的,故可以構(gòu)造“鴿巢”1n-1nn+1(抽屜).注意到對(duì)于6個(gè)人中的任何一個(gè)人1-=<<,nnn+1n+2A來(lái)說(shuō),除A以外的5個(gè)人可分為兩類(lèi),一以此構(gòu)造一個(gè)更強(qiáng)的命題:類(lèi)是與A相識(shí)的人,另一類(lèi)是與A不相識(shí)的已知條件與原命題相同.求證:人.如用F來(lái)表示其余5個(gè)人中與A相識(shí)的n+1

16、構(gòu)造法對(duì)式①進(jìn)行改造得成的集合為F,與A不相識(shí)的人組成的集合n+1n為S.根據(jù)抽屜原理,F、S中至少有一個(gè)集合