球坐標系與柱坐標系

《球坐標系與柱坐標系》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、階階段段一三4.1.3球坐標系與柱坐標系學業(yè)階分段層二測評上一頁返回首頁下一頁1．球坐標系、柱坐標系的理解．2．球坐標、柱坐標與直角坐標的互化．上一頁返回首頁下一頁[基礎·初探]1．球坐標系與球坐標(1)在空間任取一點O作為極點，從O點引兩條互相垂直的射線Ox和Oz作為極軸，再規(guī)定一個長度單位和射線Ox繞Oz軸旋轉所成的角的正方向，這樣就建立了一個球坐標系．上一頁返回首頁下一頁(2)設P是空間一點，用r表示OP的長度，θ表示以Oz為始邊，OP為終邊的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，則有序數組(r，θ，φ)就叫做點P的球坐標，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π.圖4?1?5上一頁返

2、回首頁下一頁2．直角坐標與球坐標間的關系若空間直角坐標系的原點O，Ox軸及Oz軸，分別與球坐標系的極點、Ox軸及Oz軸重合，就可以得到空間中同一點P的直角坐標(x，y，z)與球坐標(r，θ，φ)之間的關系，如圖4?1?6所示．2222x＋y＋z＝r，x＝rsinθcosφ，y＝rsinθsinφ，圖4?1?6z＝rcosθ.上一頁返回首頁下一頁3．柱坐標系建立了空間直角坐標系O?xyz后，設P為空間中任意一點，它在xOy平面上的射影為Q，用極坐標(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示點Q在平面xOy上的極坐標，這時點P的位置可以用有序數組(ρ，θ，z)(z∈R)表示，把建立上述對應關系的坐標

3、系叫柱坐標系，有序數組(ρ，θ，z)叫做點P的柱坐標，記作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.4．直角坐標與柱坐標之間的關系?x＝ρcosθ，??y＝ρsinθ，??z＝z.圖4?1?7上一頁返回首頁下一頁[思考·探究]1．空間直角坐標系和柱坐標系、球坐標系有何聯系和區(qū)別？【提示】柱坐標系和球坐標系都是以空間直角坐標系為背景，柱坐標系中一點在平面xOy內的坐標是極坐標，豎坐標和空間直角坐標系的豎坐標相同；球坐標系中，則以一點到原點的距離和兩個角(高低角、極角)刻畫點的位置．空間直角坐標系和柱坐標系、球坐標系都是空間坐標系，空間點的坐標都是由三個數值的有序數組組成．上一頁返回首

4、頁下一頁2．在空間的柱坐標系中，方程ρ＝ρ0(ρ0為不等于0的常數)，θ＝θ0，z＝z0分別表示什么圖形？【提示】在極坐標中，方程ρ＝ρ0(ρ0為不等于0的常數)表示圓心在極點，半徑為ρ0的圓，方程θ＝θ0(θ0為常數)表示與極軸成θ0角的射線．而在空間的柱坐標系中，方程ρ＝ρ0表示中心軸為z軸，底半徑為ρ0的圓柱面，它是上述圓周沿z軸方向平行移動而成的．方程θ＝θ0表示與zOx坐標面成θ0角的半平面．方程z＝z0表示平行于xOy坐標面的平面，如圖所示．常把上述的圓柱面、半平面和平面稱為柱坐標系的三族坐標面．上一頁返回首頁下一頁[質疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討

5、交流：疑問1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑問2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________上一頁返回首頁下一頁將點的柱坐標或球坐標化為直角坐標?3π3π?(1)已知點M的球坐標為?2，，?，則點M的直角坐標為________．?4

6、4??π?(2)設點M的柱坐標為?2，，7?，則點M的直角坐標為________．?6?上一頁返回首頁下一頁【自主解答】(1)設M(x，y，z)，3π3π則x＝2sin·cos＝－1，443π3πy＝2×sin×sin＝1，443πz＝2×cos＝－2.4即M點坐標為(－1,1，－2)．上一頁返回首頁下一頁(2)設M(x，y，z)，π則x＝2×cos＝3，6πy＝2×sin＝1，z＝7.6即M點坐標為(3，1,7)．【答案】(1)(－1,1，－2)(2)(3，1,7)上一頁返回首頁下一頁[再練一題]?π?1．(1)已知點P的柱坐標為?4，，8?，則它的直角坐標為________．?3??3π

7、π?(2)已知點P的球坐標為?4，，?，則它的直角坐標為________．?44?【解析】(1)由變換公式得：πx＝4cos＝2，3πy＝4sin＝23，z＝8.3∴點P的直角坐標為(2,23，8)．上一頁返回首頁下一頁(2)由變換公式得：3ππx＝rsinθcosφ＝4sincos＝2，443ππy＝rsinθsinφ＝4sinsin＝2，443πz＝rcosθ＝4cos＝－22.4∴它的直角坐標為(2,2