球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系

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1、階階段段一三4.1.3球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系學(xué)業(yè)階分段層二測(cè)評(píng)上一頁(yè)返回首頁(yè)下一頁(yè)1．球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系的理解．2．球坐標(biāo)、柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化．上一頁(yè)返回首頁(yè)下一頁(yè)[基礎(chǔ)·初探]1．球坐標(biāo)系與球坐標(biāo)(1)在空間任取一點(diǎn)O作為極點(diǎn)，從O點(diǎn)引兩條互相垂直的射線Ox和Oz作為極軸，再規(guī)定一個(gè)長(zhǎng)度單位和射線Ox繞Oz軸旋轉(zhuǎn)所成的角的正方向，這樣就建立了一個(gè)球坐標(biāo)系．上一頁(yè)返回首頁(yè)下一頁(yè)(2)設(shè)P是空間一點(diǎn)，用r表示OP的長(zhǎng)度，θ表示以O(shè)z為始邊，OP為終邊的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，則有序數(shù)組(r，θ，φ)就叫做點(diǎn)P的球坐標(biāo)，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π.圖4?1?5上一頁(yè)返

2、回首頁(yè)下一頁(yè)2．直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)間的關(guān)系若空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，Ox軸及Oz軸，分別與球坐標(biāo)系的極點(diǎn)、Ox軸及Oz軸重合，就可以得到空間中同一點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x，y，z)與球坐標(biāo)(r，θ，φ)之間的關(guān)系，如圖4?1?6所示．2222x＋y＋z＝r，x＝rsinθcosφ，y＝rsinθsinφ，圖4?1?6z＝rcosθ.上一頁(yè)返回首頁(yè)下一頁(yè)3．柱坐標(biāo)系建立了空間直角坐標(biāo)系O?xyz后，設(shè)P為空間中任意一點(diǎn)，它在xOy平面上的射影為Q，用極坐標(biāo)(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示點(diǎn)Q在平面xOy上的極坐標(biāo)，這時(shí)點(diǎn)P的位置可以用有序數(shù)組(ρ，θ，z)(z∈R)表示，把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)

3、系叫柱坐標(biāo)系，有序數(shù)組(ρ，θ，z)叫做點(diǎn)P的柱坐標(biāo)，記作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.4．直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)之間的關(guān)系?x＝ρcosθ，??y＝ρsinθ，??z＝z.圖4?1?7上一頁(yè)返回首頁(yè)下一頁(yè)[思考·探究]1．空間直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系有何聯(lián)系和區(qū)別？【提示】柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系都是以空間直角坐標(biāo)系為背景，柱坐標(biāo)系中一點(diǎn)在平面xOy內(nèi)的坐標(biāo)是極坐標(biāo)，豎坐標(biāo)和空間直角坐標(biāo)系的豎坐標(biāo)相同；球坐標(biāo)系中，則以一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離和兩個(gè)角(高低角、極角)刻畫(huà)點(diǎn)的位置．空間直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系都是空間坐標(biāo)系，空間點(diǎn)的坐標(biāo)都是由三個(gè)數(shù)值的有序數(shù)組組成．上一頁(yè)返回首

4、頁(yè)下一頁(yè)2．在空間的柱坐標(biāo)系中，方程ρ＝ρ0(ρ0為不等于0的常數(shù))，θ＝θ0，z＝z0分別表示什么圖形？【提示】在極坐標(biāo)中，方程ρ＝ρ0(ρ0為不等于0的常數(shù))表示圓心在極點(diǎn)，半徑為ρ0的圓，方程θ＝θ0(θ0為常數(shù))表示與極軸成θ0角的射線．而在空間的柱坐標(biāo)系中，方程ρ＝ρ0表示中心軸為z軸，底半徑為ρ0的圓柱面，它是上述圓周沿z軸方向平行移動(dòng)而成的．方程θ＝θ0表示與zOx坐標(biāo)面成θ0角的半平面．方程z＝z0表示平行于xOy坐標(biāo)面的平面，如圖所示．常把上述的圓柱面、半平面和平面稱為柱坐標(biāo)系的三族坐標(biāo)面．上一頁(yè)返回首頁(yè)下一頁(yè)[質(zhì)疑·手記](méi)預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討

5、交流：疑問(wèn)1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑問(wèn)2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________上一頁(yè)返回首頁(yè)下一頁(yè)將點(diǎn)的柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)?3π3π?(1)已知點(diǎn)M的球坐標(biāo)為?2，，?，則點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為_(kāi)_______．?4

6、4??π?(2)設(shè)點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為?2，，7?，則點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為_(kāi)_______．?6?上一頁(yè)返回首頁(yè)下一頁(yè)【自主解答】(1)設(shè)M(x，y，z)，3π3π則x＝2sin·cos＝－1，443π3πy＝2×sin×sin＝1，443πz＝2×cos＝－2.4即M點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,1，－2)．上一頁(yè)返回首頁(yè)下一頁(yè)(2)設(shè)M(x，y，z)，π則x＝2×cos＝3，6πy＝2×sin＝1，z＝7.6即M點(diǎn)坐標(biāo)為(3，1,7)．【答案】(1)(－1,1，－2)(2)(3，1,7)上一頁(yè)返回首頁(yè)下一頁(yè)[再練一題]?π?1．(1)已知點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為?4，，8?，則它的直角坐標(biāo)為_(kāi)_______．?3??3π

7、π?(2)已知點(diǎn)P的球坐標(biāo)為?4，，?，則它的直角坐標(biāo)為_(kāi)_______．?44?【解析】(1)由變換公式得：πx＝4cos＝2，3πy＝4sin＝23，z＝8.3∴點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2,23，8)．上一頁(yè)返回首頁(yè)下一頁(yè)(2)由變換公式得：3ππx＝rsinθcosφ＝4sincos＝2，443ππy＝rsinθsinφ＝4sinsin＝2，443πz＝rcosθ＝4cos＝－22.4∴它的直角坐標(biāo)為(2,2