《期權(quán)定價理論》PPT課件

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1、投資學(xué)第13章投資分析(4):Black-Scholes期權(quán)定價模型概述Black、Scholes和Merton發(fā)現(xiàn)了看漲期權(quán)定價公式,Scholes和Merton也因此獲得1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎模型基本假設(shè)8個無風(fēng)險利率已知,且為一個常數(shù),不隨時間變化。標(biāo)的股票不支付紅利期權(quán)為歐式期權(quán)10/1/20212無交易費用:股票市場、期權(quán)市場、資金借貸市場投資者可以自由借貸資金,且二者利率相等,均為無風(fēng)險利率股票交易無限細(xì)分,投資者可以購買任意數(shù)量的標(biāo)的股票對賣空沒有任何限制標(biāo)的資產(chǎn)為股票,其價格S的變化為幾何布朗運動10/1/20213B-S模型證明思路ITO引理ITO過

2、程B-S微分方程B-S買權(quán)定價公式10/1/2021413.1維納過程根據(jù)有效市場理論,股價、利率和匯率具有隨機(jī)游走性,這種特性可以采用Wienerprocess,它是Markovstochasticprocess的一種。對于隨機(jī)變量w是Wienerprocess,必須具有兩個條件:在某一小段時間Δt內(nèi),它的變動Δw與時段滿足Δt10/1/20215(13.1)2.在兩個不重疊的時段Δt和Δs,Δwt和Δws是獨立的,這個條件也是Markov過程的條件,即增量獨立?。?3.2)有效市場10/1/20216滿足上述兩個條件的隨機(jī)過程,稱為維納過程,其性質(zhì)有當(dāng)時段的長度放大到

3、T時(從現(xiàn)在的0時刻到未來的T時刻)隨機(jī)變量Δwt的滿足10/1/20217證明:10/1/20218在連續(xù)時間下,由(13.1)和(13.2)得到(13.3)(13.4)所以,概率分布的性質(zhì)以上得到的隨機(jī)過程,稱為維納過程。10/1/2021913.2ITO定理一般維納過程(GeneralizedWienerprocess)可表示為(13.5)顯然,一般維納過程的性質(zhì)為10/1/202110一般維納過程仍不足以代表隨機(jī)變量復(fù)雜的變動特征。漂移率和方差率為常數(shù)不恰當(dāng)若把變量xt的漂移率a和方差率b當(dāng)作變量x和時間t的函數(shù),擴(kuò)展后得到的即為ITO過程10/1/202111B

4、-S期權(quán)定價模型是根據(jù)ITO過程的特例-幾何布朗運動來代表股價的波動省略下標(biāo)t,變換后得到幾何布朗運動方程(13.6)證券的預(yù)期回報與其價格無關(guān)。10/1/202112ITO定理:假設(shè)某隨機(jī)變量x的變動過程可由ITO過程表示為(省略下標(biāo)t)令f(x,t)為隨機(jī)變量x以及時間t的函數(shù),即f(x,t)可以代表以標(biāo)的資產(chǎn)x的衍生證券的價格,則f(x,t)的價格變動過程可以表示為(13.7)10/1/202113證明:將(13.7)離散化由(13.1)知利用泰勒展開,忽略高階段項,f(x,t)可以展開為(13.8)10/1/202114在連續(xù)時間下,即因此,(13.8)可以改寫為

5、(13.9)從而10/1/202115即Δx2不呈現(xiàn)隨機(jī)波動!(13.10)10/1/202116由(13.10)可得(13.11)由(13.11)得到(13.12)10/1/202117由于Δx2不呈現(xiàn)隨機(jī)波動,所以,其期望值就收斂為真實值,即當(dāng)Δt→0時,由(13.9)可得■10/1/20211813.3B-S微分方程假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格變動過程滿足這里S為標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前的價格,令f(s,t)代表衍生證券的價格,則f(x,t)的價格變動過程可由ITO引理近似為10/1/202119假設(shè)某投資者以δ份的標(biāo)的資產(chǎn)多頭和1個單位的衍生證券空頭來構(gòu)造一個組合,且δ滿足則該組合的收益

6、為10/1/202120下面將證明該組合為無風(fēng)險組合,在Δt時間區(qū)間內(nèi)收益為10/1/202121注意到此時Δπ不含有隨機(jī)項w,這意味著該組合是無風(fēng)險的,設(shè)無風(fēng)險收益率為r,且由于Δt較小(不采用連續(xù)復(fù)利),則整理得到10/1/202122B-S微分方程的意義衍生證券的價格f,只與當(dāng)前的市價S,時間t,證券價格波動率σ和無風(fēng)險利率r有關(guān),它們?nèi)际强陀^變量。因此,無論投資者的風(fēng)險偏好如何,都不會對f的值產(chǎn)生影響。在對衍生證券定價時,可以采用風(fēng)險中性定價,即所有證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險利率r。只要標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運動,都可以采用B-S微分方程求出價格f。10/1/2

7、02123若股票價格服從幾何布朗運動設(shè)當(dāng)前時刻為t,則T時刻股票價格滿足對數(shù)正態(tài)分布,即13.4幾何布朗運動與對數(shù)正態(tài)分布10/1/202124令則這樣由伊藤引理得到即10/1/202125由(13.1)10/1/202126則稱ST服從對數(shù)正態(tài)分布,其期望值為所以10/1/20212713.5B-S買權(quán)定價公式對于歐式不支付紅利的股票期權(quán),其看漲期權(quán)(買權(quán))的在定價日t的定價公式為10/1/202128(1)設(shè)當(dāng)前時刻為t,到期時刻T,若股票價格服從幾何布朗運動,若已經(jīng)當(dāng)前時刻t的股票價格為St,則T時刻的股票價格的期望值為

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