教案極值與最值

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1、西安交通工程學院校級課題《高職學生高等數(shù)學應用能力的培養(yǎng)與研究》時間---------月---------日星期-----------------課題§3.5函數(shù)的極值與最值教學目的1、使學生理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)極值的方法。2、使學生掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應用。教學重點求函數(shù)的極值教學難點求函數(shù)的極值課型基礎(chǔ)課備課組教法選擇講授教學過程教法運用及板書要點引言：復習函數(shù)單調(diào)性判別法講解新課：一、函數(shù)的極值及其求法上節(jié)[例3]中，用X=-1，和X=1兩點將的定義域（-∞，+∞）分為三小區(qū)間（-∞，-1），[-

2、1，1]，，使用分別在這三個小區(qū)間上單減，單增，單減（見圖），從圖中不難看出，在X=-1的一個較小范圍內(nèi)，在X=1點的最小區(qū)間都是慮的局部情況，而不是整體，這就是將討論的極值。定義1：設函數(shù)在點的某鄰域上有定義，若對有，（）則稱是的極大值點（極小值點），就是的極大值（極小值）。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.說明：函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的.如果是函數(shù)的一個極大值,那只是就附近的一個局部范圍來說,是的一個最大值;如果就的整個定義域來說,不一定是最大值.對于極小值情況類似.極值與水平切線

3、的關(guān)系:在函數(shù)取得極值處,曲線上的切線是水平的.但曲線上有水平切線的地方,函數(shù)不一定取得極值.由費馬引理可得定理1（極值的必要條件）：若函數(shù)在點可導，且點取得7/7西安交通工程學院《高等數(shù)學》課程建設組西安交通工程學院校級課題《高職學生高等數(shù)學應用能力的培養(yǎng)與研究》極值，則。注：1、一般地，在處有，就稱為的駐點或穩(wěn)定點，上定理1即是可導函數(shù)的極點必為駐點。2、駐點未必是極點，及例：在=0處的情況。3、定理1只對可導函數(shù)而言，對導數(shù)不存在的點，函數(shù)也可能取及極值，例：=∣x∣，在x=0點的導數(shù)不存在，但取得極小值。如何判別在x0點

4、取得極值，有下二個定理：定理2（第一充分條件），若函數(shù)在內(nèi)可導，且。1)若當時而時則是極大值。2)若當時而時則是極小值。3)若當及時均有（或均有），則不是極值。注：定理條件改為：若函數(shù)在可導（可以不存在），其他條件不變定理也成立。求極值的步驟：1）求出導數(shù)；2）求出的全部駐點和不可導點；3）按照定理2考察每個駐點和不可導點左右兩側(cè)導數(shù)的符號，確定是否為極值點。4）求出各極值點處的函數(shù)值，即得的全部極值。【例1】求函數(shù)的極值.解(1)f(x)在(-￥,+￥)內(nèi)連續(xù),除x=-1外處處可導,且;(2)令f￠(x)=0,得駐點x=1;x

5、=-1為f(x)的不可導點;(3)列表判斷x(-￥,-1)-1(-1,1)1(1,+￥)f￠(x)+不可導-0+f(x)↗0↘↗(4)極大值為f(-1)=0,極小值為.當在駐點處的二階導數(shù)存在且不為零時，則有以下定理：7/7西安交通工程學院《高等數(shù)學》課程建設組西安交通工程學院校級課題《高職學生高等數(shù)學應用能力的培養(yǎng)與研究》定理3（第二充分條件）設在的某鄰域內(nèi)一階可導，在處具有二階導數(shù)，且，，那么1）若，則在點取得極大值；2）若，則在點取得極小值。證明在情形(1),由于f￠￠(x0)<0,按二階導數(shù)的定義有.根據(jù)函數(shù)極限的局部保

6、號性,當x在x0的足夠小的去心鄰域內(nèi)時,.但f￠(x0)=0,所以上式即.從而知道,對于這去心鄰域內(nèi)的x來說,f￠(x)與x-x0符號相反.因此,當x-x0<0即x0;當x-x0>0即x>x0時,f￠(x)<0.根據(jù)定理2,f(x)在點x0處取得極大值.類似地可以證明情形(2).定理3表明,如果函數(shù)f(x)在駐點x0處的二導數(shù)f￠￠(x0)10,那么該點x0一定是極值點,并且可以按二階導數(shù)f￠￠(x0)的符來判定f(x0)是極大值還是極小值.但如果f￠￠(x0)=0,定理3就不能應用?！纠?】求函數(shù)的極值。

7、解：，令，可得；由于，由定理3可知在處取得極小值，極小值為0；由于，定理3不能應用，但是在處左右兩值不變號，所以由定理2可知，在處沒有極值（如P158：圖3-15）?！纠?】討論的極值點。解：，可見在內(nèi)可微，且無駐點，也無使不存在的點，所以此函數(shù)無極值。二、最大值最小值問題在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學實驗中,常常會遇到這樣一類問題:在一定條件下,怎樣使“產(chǎn)品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等問題,7/7西安交通工程學院《高等數(shù)學》課程建設組西安交通工程學院校級課題《高職學生高等數(shù)學應用能力的培養(yǎng)與研究》這類問題在

8、數(shù)學上有時可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱為目標函數(shù)）的最大值或最小值問題.極值與最值的關(guān)系:設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則函數(shù)的最大值和最小值一定存在.函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點取得,如果最大值不在區(qū)間的端點取得,則必在開區(qū)間(a,b)內(nèi)取得