成題改編——引申

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1、14中等數(shù)學(xué)●我為數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題●成題改編———引申羅增儒(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,710062)本文將結(jié)合一道全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題的(A)F(-2-x)=-2-F(x)命題實(shí)踐,談成題改編中的引申技術(shù).1+x(B)F(-x)=F1-x1 引申的認(rèn)識(shí)-1(C)F(x)=F(x)(1)引申通常解釋為從舊義得出新義.競(jìng)(D)F(F(x))=-x賽命題的引申技術(shù)就是從已知題目出發(fā),沿(1984,全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)縱橫兩個(gè)方向演繹深化得出新題目.其編擬過(guò)程經(jīng)歷了如下三個(gè)階段.理想的狀態(tài)是,形式新、內(nèi)容新、方法新.2.1從課本中找出感興趣的問(wèn)題因而,深化延伸既包括內(nèi)容的深化,也包括方1984年,筆者還在陜

2、西耀縣水泥廠子弟法的更新與創(chuàng)新.學(xué)校任教,陜西師范大學(xué)的李珍煥前輩向我(2)引申技術(shù)的使用通常要經(jīng)歷三個(gè)步們轉(zhuǎn)達(dá)了競(jìng)賽命題的一個(gè)思路:源于教材,深驟.化提高.于是,筆者就翻課本,找感興趣而又首先,某一道題目的知識(shí)內(nèi)容或解題方有提高空間的問(wèn)題,其中函數(shù)法引起了主體的興趣,激活了認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中的1-xF(x)=①相應(yīng)知識(shí)鏈.1+x其次,分析題目的內(nèi)容實(shí)質(zhì),提煉解法的引起了筆者的興趣,因其有一個(gè)很好的性質(zhì)關(guān)鍵步驟(專業(yè)分析).在此基礎(chǔ)上,考慮能否1-F(x)=x,1+F(x)從特殊到一般、從離散到連續(xù)、從有限到無(wú)限即函數(shù)與反函數(shù)的圖像重合.用函數(shù)迭代的作出推廣或深化.還可以考慮用于解決這個(gè)話來(lái)說(shuō),

3、就是迭代周期為2,即問(wèn)題的方法能否用來(lái)處理更多、更深刻的問(wèn)F(F(x))=x.題.現(xiàn)行的課本中還保留有這個(gè)函數(shù)(文[2]最后,將獲得的新成果組織成競(jìng)賽題,引P74),將這個(gè)性質(zhì)作為學(xué)生的作業(yè):進(jìn)年號(hào)、貼近生活,擬人擬物、運(yùn)用對(duì)比、巧設(shè)循環(huán)等是增強(qiáng)趣味性的常用手法.編擬選擇例2 求證:函數(shù)y=1-x(x≠-1)的1+x題時(shí),還要注意選擇支的合理搭配,滿足科學(xué)反函數(shù)是該函數(shù)自身.性、獨(dú)立性、平行性、典型性等要求.此外,課本中還出現(xiàn)有涉及函數(shù)方程的2 一道函數(shù)方程題的編擬過(guò)程素材,學(xué)生有“函數(shù)方程”這個(gè)陌生概念的感[1]性認(rèn)識(shí).如(見(jiàn)當(dāng)時(shí)的甲、乙種本,現(xiàn)行教材也這是一道單項(xiàng)選擇題:有)1-x例

4、1 若F=x,則下列等式中1+x1-x例3 已知f(x)=lg,a、b∈1+x正確的是().a+b(-1,1).求證:f(a)+f(b)=f.  收稿日期:2005-03-211+ab2005年第8期1521+x代替F(x).這還有一個(gè)好處,就是拓寬了解例4 設(shè)f(x)=2.求證:1-x題思路:既可以解出函數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的性質(zhì),(1)f(-x)=f(x);也可以不解函數(shù)方程直接判斷函數(shù)的性質(zhì).(2)f1=-f(x).解函數(shù)方程學(xué)生沒(méi)有學(xué)過(guò),但在解析幾x何里化參數(shù)方程為一般方程學(xué)生是知道的,函數(shù)的奇偶性是用函數(shù)方程由f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)1-tax=,n+11+t來(lái)定義

5、的.等比數(shù)列的定義=q(n≥1),any=F(x)=t等差數(shù)列的性質(zhì)an+2-2an+1+an=0等都消去參數(shù)t得體現(xiàn)了函數(shù)方程,求等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公1-xy=,式,就是解函數(shù)方程.1+x所以,對(duì)函數(shù)①?gòu)暮瘮?shù)方程的角度來(lái)編學(xué)生是能勝任的.問(wèn)題是會(huì)不會(huì)靈活運(yùn)用已題是“源于課本、深化提高”的.問(wèn)題是,這個(gè)知知識(shí),這才是數(shù)學(xué)競(jìng)賽所著意考查的.函數(shù)還有些什么性質(zhì)?這就深入到第二步選擇題的設(shè)計(jì)可以問(wèn):下列等式中“正確了.的是”,也可以問(wèn)“錯(cuò)誤的是”.考慮到當(dāng)時(shí)的1-x習(xí)慣,最終選擇了前者.于是,就把函數(shù)的三2.2探討函數(shù)F(x)=的性質(zhì)1+x個(gè)性質(zhì)寫(xiě)成了錯(cuò)誤的形式.[3]得出函數(shù)的幾個(gè)基本性質(zhì)

6、:在選擇支的設(shè)計(jì)上,要保證科學(xué)性(內(nèi)容(1)F(F(x))=x;科學(xué),邏輯相容,結(jié)果唯一)、獨(dú)立性(各選擇-1-1(2)F(x)=F(x)(F表示F的逆對(duì)支之間不能成為充分或必要條件,否則形同應(yīng));虛設(shè))、平行性(各選擇支之間難易程度相1(3)F(-x)=;當(dāng))、典型性(誘誤支不要錯(cuò)得太明顯,的確是F(x)-1學(xué)生的典型錯(cuò)誤)(見(jiàn)文[4]),據(jù)此編擬了例(4)F(x)=-F(x);1.其中選項(xiàng)(A)為函數(shù)性質(zhì)(5),選項(xiàng)(B)與(5)F(-2-x)=-2-F(x);函數(shù)性質(zhì)(3)有關(guān),選項(xiàng)(C)與函數(shù)性質(zhì)(4)有F(a)+F(b)(6)=F(ab).1+F(a)F(b)關(guān),選項(xiàng)(D)與函

7、數(shù)性質(zhì)(1)、(2)有關(guān).1-x此外,函數(shù)F(x)=還可變形為3 試題的求解1+xπ本題的求解有正面肯定一支或反面否定F(x)=tan-arctanx.4三支兩個(gè)基本思路.這些情況的明確,只是完成了編題的數(shù)3.1求解對(duì)照法學(xué)準(zhǔn)備,剩下的就是組題的操作問(wèn)題了.第一步解出函數(shù)方程,第二步對(duì)照選擇2.3組織成試題支驗(yàn)證函數(shù)的性質(zhì),正確的選出(肯定一支),由于函數(shù)的這些性質(zhì)基本上都是恒等變錯(cuò)誤的排除(否定三支).形運(yùn)算,因而作綜合題難度不夠

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