成題改編_增加解題的層次

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1、16中等數(shù)學(xué)●我為數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題●成題改編———增加解題的層次羅增儒(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,710062)1　對(duì)成題改編的認(rèn)識(shí)在第1985步跳到了點(diǎn)P1985,問點(diǎn)P與點(diǎn)P1985相距多少厘米?成題改編是從已知題目出發(fā),經(jīng)過改造(1985,五四青年智力競(jìng)賽)深化,得出新題的一種命題方法.它要求的不 例1-2　平面上給定△A1A2A3及點(diǎn)僅僅是“形式新”,更重要的是“內(nèi)容新”,特別P0,定義As=As-3,s≥4.點(diǎn)列P0,P1,P2,是在解題方法上要有不同程度的豐富與創(chuàng)新?,使得點(diǎn)Pk+1為繞中心Ak+1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(推陳出新

2、).120°時(shí)點(diǎn)Pk所到達(dá)的位置,k=0,1,2,?.若1.1　從數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題的基本途徑說起P1986=P0,證明:△A1A2A3為等邊三角形.數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題的基本途徑有:(第27屆IMO)(1)采用最新科研成果,或者是前沿?cái)?shù)學(xué)改編后的題目,保留了原題中“周期點(diǎn)研究中的科研副產(chǎn)品,或者是初等數(shù)學(xué)研究列”的本質(zhì),但認(rèn)識(shí)已大大深化,并且改變了的新進(jìn)展;設(shè)問的方向.(2)高等數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單化、特殊化、初等化事實(shí)2:南開大學(xué)李成章教授在談到我(高等背景,初等解法);國(guó)第二次入選國(guó)際競(jìng)賽題的命題過程時(shí)說,(3)成題改編,包括歷史名題的再

3、生.該題也是從與陶曉永同志談話中提到的一道科研新成果雖然漂亮但不可多得,而高簡(jiǎn)單數(shù)論題(例2-1)獲得的啟示,經(jīng)引申和變換解題方法而得出來的[2].等數(shù)學(xué)的初等化對(duì)專業(yè)要求很高,因而,成題改編就成為數(shù)學(xué)競(jìng)賽普遍采用的大眾化的命例2-1　從前100個(gè)正整數(shù)中任取51題捷徑.請(qǐng)看兩個(gè)富有啟發(fā)性的事實(shí).個(gè),其中必有兩個(gè)互質(zhì).事實(shí)1:中國(guó)科技大學(xué)常庚哲教授在談例2-2　設(shè)S={1,2,?,280}.求最小到我國(guó)第一次入選國(guó)際競(jìng)賽題的命題過程時(shí)自然數(shù)n,使得S的每個(gè)n元子集中都含有說,該題正是從周春荔先生提供的一道“五四5個(gè)兩兩互

4、質(zhì)的數(shù).青年智力競(jìng)賽”題(例1-1)“作實(shí)質(zhì)性的推廣”演變出來的[1].(第32屆IMO)例1-1　地面上有A、B、C三點(diǎn).一只青蛙位于地面上距點(diǎn)C為0127m的點(diǎn)P與原題相比,新題發(fā)生了三個(gè)變化.(1)集合S的元素由100增加到280;(2)由取出的子集中有兩個(gè)數(shù)互質(zhì)發(fā)展處,青蛙第一步從點(diǎn)P跳到關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱為5個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì),這是實(shí)質(zhì)性的拓廣,大大 點(diǎn)P1,第二步從點(diǎn)P1跳到關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱提高了試題的難度;點(diǎn)P2,第三步從點(diǎn)P2跳到關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱(3)從取出51個(gè)數(shù)改變?yōu)閱枴白钌俚萌↑c(diǎn)P3,第四步從點(diǎn)P3跳到關(guān)于點(diǎn)A的

5、對(duì)稱出多少個(gè)數(shù)”,不僅改變了設(shè)問的方向,而且 點(diǎn)P4,??.按這種方式一直跳下去.若青蛙改變了題目的性質(zhì),從單純的說理變?yōu)椤巴评怼　∈崭迦掌?2005-03-21與計(jì)算兼顧的探索型問題”.2005年第6期171.2　成題改編的技術(shù)2.1　集合相等題根據(jù)筆者的命題實(shí)踐,從已知的習(xí)題出例3　已知三元素集合發(fā),演繹深化,經(jīng)常使用的技術(shù)措施有:M={x,xy,lgxy},N={0,

6、x

7、,y},(1)多道習(xí)題、多種方法的串聯(lián)、并聯(lián)與并且M=N.那么,綜合.多數(shù)情況下是兩道習(xí)題、兩種方法的有機(jī)組合(見例3).x+1y2+12001

8、+1+xy2+?+xy2001的值為.(2)分析題目的實(shí)質(zhì)、提煉解法的關(guān)鍵,(1987,全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)然后作縱向延伸,橫向拓廣或觸類旁通,向其這是一道以填空題形式出現(xiàn)的綜合題, 他學(xué)科移植、類比(見例1-1,例2-1).當(dāng)年曾被評(píng)為優(yōu)秀試題.(3)反面轉(zhuǎn)化,改變?cè)O(shè)問的方向.常見的2.1.1　試題的產(chǎn)生過程是把條件變?yōu)榻Y(jié)論,尤其是變?yōu)樘剿餍缘慕Y(jié)(1)筆者在中學(xué)任教時(shí)(1978—1985),在 論(見例1-2,例2-2).(4)引進(jìn)討論的參數(shù).常見的是把原先的全日制十年制高中課本數(shù)學(xué)第四冊(cè)“數(shù)列”一常數(shù)變?yōu)樾枰懻摰膮?shù)

9、,也可以添加一個(gè)節(jié)中見過一道數(shù)列求和作業(yè)題:例3-1　求下面數(shù)列的前n項(xiàng)和: 參數(shù).(5)增加解題的層次.可以在前面增加充分條件,也可以在后面增加必要條件(見例3,例4).(6)設(shè)置隱含條件.可通過概念、定理、運(yùn)算成立的前提等來設(shè)置隱含條件,也可通過事項(xiàng)間的內(nèi)在聯(lián)系來設(shè)置隱含條件,還可通過圖形中已客觀存在的關(guān)系或運(yùn)動(dòng)中的不變1,x2+1,?,xn+1n+1x+n,?.yy2y當(dāng)時(shí)的教學(xué)參考書提供的標(biāo)準(zhǔn)答案分類討論都沒有考慮x=-1或y=-1的情況,筆者便萌生了提請(qǐng)注意的想法.在供題時(shí)以此為編擬的起點(diǎn)(從一道已知題目開始)

10、.(2)首先想到給題目增加一個(gè)層次,比如說設(shè)計(jì)一個(gè)方程組,使其解為x=-1,y= 性質(zhì)等來設(shè)置隱含條件.-1.但直接給出方程組就沒有競(jìng)賽味了,而 (7)否定假設(shè)法.它的基本步驟是:第1步,對(duì)已知題目進(jìn)行分析,列舉出它的基本要素.給出一個(gè)退化的二次曲線方程(a1x+b1y+c1)2+(a2x+b2y+c2)2=0又太俗