彈塑性力學(xué)-03

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1、第三章應(yīng)變應(yīng)用彈塑性力學(xué)1第三章應(yīng)變彈性力學(xué)應(yīng)變理論回顧變形與應(yīng)變的概念主應(yīng)變與應(yīng)變偏量及其不變量應(yīng)變率的概念應(yīng)變協(xié)調(diào)方程第3章應(yīng)變2彈性力學(xué)應(yīng)變理論回顧在平面問題中，彈性體中各點都可能產(chǎn)生任意方向的位移。通過彈性體內(nèi)的任一點P，取一單元體PAB，如圖所示。彈性體受力以后P、A、B三點分別移動到P′、A′、B′。圖2－5一、P點的正應(yīng)變在這里由于小變形，由y方向位移v所引起的PA的伸縮是高一階的微量，略去不計。平面問題的基本理論3同理可求得：二、P點的切應(yīng)變線段PA的轉(zhuǎn)角：同理可得線段PB的轉(zhuǎn)角：所以平面

2、問題的基本理論4因此得到平面問題的幾何方程：由幾何方程可見，當(dāng)物體的位移分量完全確定時，形變分量即可完全確定。反之，當(dāng)形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。平面問題的基本理論5第三章應(yīng)變這個關(guān)系式稱為形變協(xié)調(diào)方程或相容方程。也就是說,連續(xù)體的形變分量不是互相獨立的,要滿足相容方程,才能保證對應(yīng)的位移分量存在。如果任取的形變分量，如果不滿足相容方程，那么三個幾何方程中的任意兩個求出的位移分量，將不能滿足第三個幾何方程。6第三章應(yīng)變變形與應(yīng)變的概念在外力作用下，物體各點的位置要發(fā)生變化，即發(fā)生位移。如果

3、物體各點發(fā)生位移后仍保持各點間初始狀態(tài)的相對位置，則物體實際上只產(chǎn)生了剛體移動和轉(zhuǎn)動，稱這種位移為剛體位移。如果物體各點發(fā)生位移變形后改變了各點間初始狀態(tài)的相對位置，則物體就同時也產(chǎn)生了形狀的變化，稱為該物體產(chǎn)生變形。7第三章應(yīng)變設(shè)有一彈塑性體，在外力作用下發(fā)生了變形。圖中實線輪廓為變形前的狀態(tài)，虛線為變形后的狀態(tài)。物體中的點A和B，變形后的位置為A′和B′各點的位移可以用其方向的位移分量表示。因而只要確定了物體各點的位移，物體的變形狀態(tài)就確定了。因物體各點的位移一般是不同的，故位移分量應(yīng)為坐標(biāo)的函數(shù)8第

4、三章應(yīng)變設(shè)在Oxy平面內(nèi)為變形前物體中相鄰的兩點和，兩點間線段為用矢量表示為沿坐標(biāo)軸的分量9第三章應(yīng)變假定位移u,v為x,y的單值連續(xù)函數(shù)，按泰勒級數(shù)展開10第三章應(yīng)變11第三章應(yīng)變于是有簡寫為在二維情況下i,j=x,y,此時在三維情況下，i,j=x,y,z,此時稱為相對位移張量。一般的說，它是不對稱的。12第三章應(yīng)變S移至S′有剛體位移發(fā)生。但這種剛體移動并不引起物體的變形，在應(yīng)變分析中不需考慮，故應(yīng)從以上的公式中消去表示剛體位移的一部分位移。為此，我們設(shè)想S經(jīng)剛體位移移至S′的位置。此時，因長度沒有變

5、化，故有展開上式，并略去高階微量后13第三章應(yīng)變注意到：由的任意性同樣的，當(dāng)在Oyz平面和Oxz平面討論時，可得出另外三個條件：從而當(dāng)在Oxyz空間討論時，則同時得到以下六個條件這就是說，對應(yīng)于剛體移動的相對位移張量，必為反對稱張量。14第三章應(yīng)變?nèi)魏我粋€二階張量都可以惟一地分解成一個對稱張量和一個反對稱張量。因而分解成的反對部分即表示剛體位移部分，對稱部分為純變形部分。即應(yīng)變張量，即轉(zhuǎn)動變量。15第三章應(yīng)變對于三維情況，應(yīng)變張量為轉(zhuǎn)動張量為16第三章應(yīng)變這樣，對于純變形來說現(xiàn)在說明應(yīng)變張量的物理意義。如

6、S平行X軸，則可見，表示原來與X軸平行的矢量的單位長度的伸長（或壓縮），稱為線應(yīng)變或正應(yīng)變。同理可知和的物理意義也是線應(yīng)變。17第三章應(yīng)變?nèi)绻袃蓚€矢量，變形前分別平行于Ox,Oy軸（圖3-3），i,j分別為Ox,Oy方向的單位矢量，則變形后則有兩矢量的內(nèi)積定義，有注意圖3-318第三章應(yīng)變故略二次微量后，得略去高階微量后得19第三章應(yīng)變剪應(yīng)變的正負(fù)號規(guī)定為：當(dāng)兩個正方向（或負(fù)方向）坐標(biāo)軸間的直角減小時為正，反之為負(fù)。于是，我們得到了二維應(yīng)變情況下的全部（三個）應(yīng)變量：對于平面問題，一點處的應(yīng)變狀態(tài)就由這

7、三個應(yīng)變分量完全確定。三維問題各應(yīng)變分量為20第三章應(yīng)變顯然x軸與y軸間夾角的變化及y軸與x軸間的角度變化是沒有什么不同的，即有應(yīng)變位移關(guān)系式。用張量符號可以縮寫為21第三章應(yīng)變主應(yīng)變與應(yīng)變偏量及其不變量和討論應(yīng)力狀態(tài)時相類似。我們把剪應(yīng)變等于零的面叫做主平面，主平面的法線方向叫做主應(yīng)變方向。主平面上的正應(yīng)變就是主應(yīng)變。設(shè)在ABC面的法線方向有一矢量，在變形過程中的方向不變，只有長度變化。因與是在一條直線上，故與的分量成正比例，即22第三章應(yīng)變注意到公式23第三章應(yīng)變可得出以為未知量的一個三次方程24第三

8、章應(yīng)變分別稱為第一、第二、第三應(yīng)變不變量。有三個實根完全類似的可得最大剪應(yīng)變?yōu)?5第三章應(yīng)變八面體剪應(yīng)變?yōu)閼?yīng)變偏量及其不變量分別為26第三章應(yīng)變體積應(yīng)變27第三章應(yīng)變應(yīng)變率的概念關(guān)于受外力作用的彈塑性物體中應(yīng)力和位移的討論，可以方便地應(yīng)用到物體個點運動速度的討論中去。設(shè)物體中P點處的運動速度為v,其在Ox,Oy,Oz坐標(biāo)軸上的投影分別為在小變形條件下于是應(yīng)變對時間的變化率為28第三章應(yīng)變應(yīng)變率張量為在溫度不高和緩慢塑性變形時，