函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)(I)

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1、1．理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義．2．學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值．第2課時函數(shù)的單調(diào)性【命題預(yù)測】1．函數(shù)的單調(diào)性是歷年來考查的重點，也是熱點，常與其他知識結(jié)合進(jìn)行考查．2．最值是新課標(biāo)下專門給出概念的一條性質(zhì)，雖說不新，但突出了其地位，單調(diào)性是求最值的一條主要途徑．【應(yīng)試對策】1．學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性三大性質(zhì)時，主要從“數(shù)”和“形”兩個方面進(jìn)行整體把握，從理解函數(shù)的單調(diào)性定義入手，在判斷和證明函數(shù)的性質(zhì)的問題中得以鞏固，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應(yīng)用問題的過程中得以深化．2．函數(shù)的單調(diào)性是函

2、數(shù)最基本的性質(zhì)之一，只有理解了一個函數(shù)的單調(diào)性，才能刻畫出這個函數(shù)圖形的基本形狀，以及這個函數(shù)變化的基本狀況．例如，簡單的冪函數(shù)y＝x3，當(dāng)我們知道它在整個實數(shù)范圍內(nèi)是單調(diào)遞增的，那么就可以刻畫出函數(shù)y＝x3的圖象的基本形狀以及它的變化趨勢．在學(xué)習(xí)其概念時，首先應(yīng)明確對應(yīng)函數(shù)的定義域，其次要理解其區(qū)間性，即函數(shù)y＝f(x)是在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映的是隨自變量在區(qū)間上變化時函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，但不一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．3．對函數(shù)單調(diào)性的證明要明確其步驟：(1)取自變量；(2)作差；(3)判斷得結(jié)論．注

3、意，定義法是嚴(yán)格的單調(diào)性證明，在不需進(jìn)行嚴(yán)格證明時，可以通過作圖進(jìn)行判斷．另外，在后面學(xué)習(xí)的用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性也屬嚴(yán)格的證明．因此，解決具體函數(shù)的單調(diào)性問題，一般求導(dǎo)解決，而解決與抽象函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題，一般要用單調(diào)性的定義解決．【知識拓展】1．判斷函數(shù)單調(diào)性(求單調(diào)區(qū)間)的方法(1)從定義入手：設(shè)x1，x2∈A，且x1

4、f[g(x)]在公共定義域上的單調(diào)性：①若f與g的單調(diào)性相同，則y＝f[g(x)]為增函數(shù)；②若f與g的單調(diào)性相反，則y＝f[g(x)]為減函數(shù)．2．函數(shù)單調(diào)性的證明：(1)定義法；(2)導(dǎo)數(shù)法．3．一般規(guī)律(1)若f(x)，g(x)均為增函數(shù)，則f(x)＋g(x)仍為增函數(shù)；(2)若f(x)為增函數(shù)，則－f(x)為減函數(shù)；(3)設(shè)y＝f[g(x)]是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則y＝f[g(x)]在M上是減函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則y＝f[g(x)]在M上是增函數(shù)．4．一些有用的結(jié)論：(1)奇函

5、數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；(2)偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；(3)討論函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性時，要注意兩點：①若u＝g(x)，y＝f(u)在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則y＝f[g(x)]為增函數(shù)．②若u＝g(x)，y＝f(u)在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則y＝f[g(x)]為減函數(shù)．(4)函數(shù)y＝ax＋(a>0，b>0)在(－∞，]及[，＋∞)上單調(diào)遞增；在[－，0)及(0，]上單調(diào)遞減．1．函數(shù)單調(diào)性的概念一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，區(qū)間I?A，如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x

6、1，x2，當(dāng)x1＜x2時，都有，那么就說y＝f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，I稱為y＝f(x)的．如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，都有，那么就說y＝f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)，I稱為y＝f(x)的．f(x1)

7、＝f(x)的最大值，記為ymax＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最小值，記為ymin＝f(x0)．思考：若函數(shù)f(x)的最小值為a，最大值為b，函數(shù)的值域是[a，b]嗎？提示：不一定．如f(x)＝x2(x∈{0,1,2,3，})的最小值為0，最大值為9，它的值域為{0,1,4,9}不是[0,9]．單調(diào)性單調(diào)區(qū)間f(x)≤f(x0)1．(2010·東臺中學(xué)高三診斷)若函數(shù)f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數(shù)，且對一切x>0，y>0，滿足f(xy)＝f(x)＋

8、f(y)，則不等式f(x＋6)＋f(x)<2f(4)的解集為________．答案：(0,2)2．函數(shù)f(x)＝lg(x2－1)的單調(diào)增區(qū)間是________．解析：由x2－1＞0得x＜－1或x＞1，因為x