學(xué)案6：數(shù)列中的最值問(wèn)題

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1、學(xué)案6：數(shù)列中的最值問(wèn)題姓名班級(jí)運(yùn)用數(shù)列單調(diào)性求最大（?。╉?xiàng)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，一種定義在正整數(shù)集（或其子集）上的函數(shù)，因此也具有單調(diào)性，可用函數(shù)的思、想和方法去研究。對(duì)于數(shù)列｛%｝而言，若an+1,則其為遞減數(shù)列，若，則其為常數(shù)列，運(yùn)用其單調(diào)性可求出一?些常見(jiàn)數(shù)列的最值。一.整式（一次，二次）函數(shù)為背景的數(shù)列（利用二次函數(shù)單調(diào)性）例1.已知等差數(shù)列｛aj（d<0）其前n項(xiàng)和為Sn，若S9=S17,問(wèn)匕｝中哪一項(xiàng)最大?點(diǎn)評(píng):等差數(shù)列中,①當(dāng)嵐時(shí),::囂。時(shí),?最大。②當(dāng)公差d>

2、叫玄：心時(shí)'?最小。二.無(wú)理根式函數(shù)為背景的數(shù)列（利用函數(shù)單調(diào)性）例2.數(shù)列｛%｝滿足an=n-,求仏｝中的最小項(xiàng)點(diǎn)評(píng)：注意隱含條件an<0,否則會(huì)得出an+10,a>0）為背景的數(shù)列（利用函數(shù)單調(diào)性）X例3.已知數(shù)列％=—（neN*），則該數(shù)列中的最大項(xiàng)是第兒項(xiàng)？n2+156四.以分式函數(shù)為背景的數(shù)列（利用函數(shù)單調(diào)性）例4.已知％=n~^（neN＞）則在數(shù)列仏｝的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是n-a/98例5.已

3、知》=1+出+…+牛（2），記an=S2n+1-Sn+1,求數(shù)列￡｝的最小值。（利用作差法及放縮法）一.混合型數(shù)列（由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積組成的數(shù)列稱為＜差比混合數(shù)列〉）例6.己知無(wú)窮數(shù)列｛-｝的通項(xiàng)公式a』（n+l）,試判斷此數(shù)列是否何最大項(xiàng)，若有，求出第幾n10n項(xiàng)最大，若沒(méi)有，說(shuō)明理山。（利用作差法）小結(jié)：會(huì)利用求數(shù)列中最大（?。╉?xiàng)的一般方法研究數(shù)列的最值問(wèn)題;（1）、若｛陽(yáng)｝中的最人項(xiàng)為％貝'J⑵、若｛%｝中的最小項(xiàng)為％貝『“叫a?ak~ia§%】學(xué)案5：數(shù)列中的最值問(wèn)題參考答案姓名班級(jí)運(yùn)用

4、數(shù)列單調(diào)性求最大（?。╉?xiàng)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，一種定義在正整數(shù)集（或英子集）上的函數(shù)，因此也具有單調(diào)性，可用函數(shù)的思想和方法去研究。對(duì)■于數(shù)列｛a“｝而言，若anan+1,則其為遞減數(shù)列，若an=an+1,則其為常數(shù)列，運(yùn)用其單調(diào)性可求岀一些常見(jiàn)數(shù)列的最值。一.整式（一次，二次）函數(shù)為背景的數(shù)列（利用函數(shù)單調(diào)性）例］.已知等差數(shù)列｛aj（d<0）其前n項(xiàng)和為Sn，若S9=S17,問(wèn)｛sj中哪一項(xiàng)最大?解：因?yàn)镾9=S17y3

5、0+H

6、

7、+???+a17=0又因?yàn)閍】。+aI7=a

8、u+a】6=a12+a15=a13+a14所以數(shù)列｛5｝單調(diào)遞減，于是a13>0,aI4<0.a13+al4=0,因?yàn)閐<0S14最大點(diǎn)評(píng)：等差數(shù)列中,①當(dāng)d<。時(shí),?最大。②當(dāng)公差d>0時(shí);:駕時(shí),Sk最小。二.無(wú)理根式函數(shù)為背景的數(shù)列（利用函數(shù)單調(diào)性）例2.數(shù)列｛an｝滿足an=ri-+,求｛%｝中的最小項(xiàng)解：an=n-7n2+1=,/.an

9、錯(cuò)誤結(jié)論，在（2）中用到了分子有理化技巧，這是根式運(yùn)算常見(jiàn)的一種方法。三.以函數(shù)y=x+9（x>0,a〉0）為背景的數(shù)列（利用函數(shù)單調(diào)性）X例3.已知數(shù)列a=—（neN*），則該數(shù)列中的最大項(xiàng)是第兒項(xiàng)?n2+156W：得忍二］，由隊(duì)I數(shù)y=x+—（x>0）知在（0.V156）上為減兩數(shù)。在（71冠+8）為增函數(shù)。n"156xn+——當(dāng)且僅當(dāng)x=V156時(shí)，函數(shù)取最小值，ff5neN要使n+-!^-的值最小，應(yīng)使n=[VT張]。n通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證,可得n=12或13時(shí),a*最大。/.a12=a13為數(shù)列伉｝中的最大項(xiàng)。一

10、.以分式函數(shù)為背景的數(shù)列（利用函數(shù)單調(diào)性）例4.已知知=n~yZ（neN*）則在數(shù)列｛5｝的前30項(xiàng)小最人項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是—n~a/98n-797(V98-V97解:,=1；——n—丁98n—丁98數(shù)列中的項(xiàng)是函數(shù)f（x）=l+頃-妬上孤立的點(diǎn)，而f（x）的圖象是由y=T98-V97右移極x-a/98x個(gè)單位再上移1個(gè)單位得到的，因此f（X）在（-00,798）上是減函數(shù)。在（V98,+oo）上也是減函數(shù)，從而可知當(dāng)n=9時(shí)a*最小,n二10時(shí)，a*最大。.?.最人項(xiàng)和最小項(xiàng)分別為a10,a90例5.若Sn=14-丄

11、+丄+...+丄（nwN）itian=S2n+1-Sn+1,求數(shù)列｛a“｝的最小值。（利用作差法）23n解:an=S2n+l_Sn+i+???+12n+l則a+a廠丄+丄-丄>丄+丄-丄=——>02n+12n+3n+22n+22n+4n+22n+22n+4??5+1>f/.｛aj為遞增數(shù)列，｛an｝?

12、'的最小項(xiàng)為a嚴(yán)丄五.混合型數(shù)列（由一個(gè)等