數(shù)列最值問(wèn)題的反思與總結(jié).doc

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1、等差數(shù)列中的最值問(wèn)題引例：【2008·寧夏海南·17·】已知數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a2=1，a5=-5.求數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn的最大值.題型特征：求Sn最值/n為何值時(shí)，Sn有最值/數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題。解決方法.法一：從Sn的形式入手，從函數(shù)角度看，Sn可以看作是不連續(xù)的關(guān)于n的二次函數(shù)式，Sn=An2+Bn,通過(guò)配方或借助二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸處取值去解決。法二：求導(dǎo)。注意求導(dǎo)時(shí)要新令f(x)出來(lái)，再求f￠(x)，因?yàn)镾n不連續(xù)，不能直接求導(dǎo)。Sn若求最值，看f￠(x)，f￠(x)的圖象是一次函數(shù)，令f￠(x)=0，若f￠(x)的斜率小于0，則此處有

2、最大值（“左正右負(fù)即左增右減”）。若f￠(x)的斜率大于0，則此處有最小值（“左負(fù)右正即左減右增”）。法三：通項(xiàng)公式法。也叫鄰項(xiàng)變號(hào)法，一個(gè)意思，其實(shí)質(zhì)是找數(shù)列正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)。即，若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求其前n項(xiàng)和的最值時(shí)，①，a1>0，d<0時(shí)，an30，且an+1￡0，則此時(shí)Sn有最大值。②，a1<0，d>0時(shí)，an￡0，且an+130，則此時(shí)Sn有最小值。解出相應(yīng)的n與Sn即可。法四：前n項(xiàng)公式法。①.若Sn取最大值，則Sn3Sn-1，Sn3Sn+1，n32，n?N*②若Sn取最小值，則Sn￡Sn-1，Sn￡Sn+1，n32，n?N*分別解之，即可。解

3、題過(guò)程中需要注意的幾個(gè)情況：（1）“等差數(shù)列中，當(dāng)且僅當(dāng)n=m時(shí)，Sn取最小值”。這種類(lèi)型的題目中這句話(huà)關(guān)鍵信息有三點(diǎn)：①d>0.②等差數(shù)列{an}不存在值為0的項(xiàng).③am是最后一個(gè)負(fù)數(shù)。此時(shí)，{an}大致的排列方式：負(fù)、負(fù)、負(fù)……負(fù)、正、正、正……，所以如果說(shuō)“當(dāng)且僅當(dāng)n=m時(shí)，Sn取最小值”，此時(shí)用通項(xiàng)法或者前n項(xiàng)和公式法時(shí)，不取“=”號(hào)。如果說(shuō)沒(méi)有強(qiáng)調(diào)當(dāng)且僅當(dāng)，只是說(shuō)數(shù)列{an}存在最小值，那么大致的排列方式會(huì)是：負(fù)、負(fù)、負(fù)……負(fù)、零、正、正、正……此時(shí)用通項(xiàng)法或者前n項(xiàng)和公式法時(shí)，要取“=”號(hào)。（2）同樣的，“等差數(shù)列中，當(dāng)且僅當(dāng)n=m時(shí)，Sn取最大

4、值”這種類(lèi)型的題目中這句話(huà)關(guān)鍵信息有三點(diǎn)：①d<0.②等差數(shù)列{an}不存在值為0的項(xiàng).③am是最后一個(gè)正數(shù)。此時(shí)，{an}大致的排列方式：正、正、正……正、負(fù)、負(fù)、負(fù)……，所以如果說(shuō)“當(dāng)且僅當(dāng)n=m時(shí)，Sn取最大值”，此時(shí)用通項(xiàng)法或者前n項(xiàng)和公式法時(shí)，不取“=”號(hào)。如果說(shuō)沒(méi)有強(qiáng)調(diào)當(dāng)且僅當(dāng)，只是說(shuō)數(shù)列{an}存在最大值，那么大致的排列方式會(huì)是：正、正、正……正、零、負(fù)、負(fù)、負(fù)……此時(shí)用通項(xiàng)法或者前n項(xiàng)和公式法時(shí)，要取“=”號(hào)。番外：遇到“非差非比”數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合的最值問(wèn)題。(1)求數(shù)列{an}前n項(xiàng)的最值和Sn的最值。三個(gè)思路，①研究an=f(n)項(xiàng)

5、的情況解決（通項(xiàng)）。②直接從Sn的形式入手解決。（前n項(xiàng)和）③求導(dǎo)。(1)求數(shù)列{an}項(xiàng)的最值，類(lèi)似地，①研究an=f(n)項(xiàng)的情況解決（通項(xiàng)）。②利用數(shù)列離散的特點(diǎn)，考察an3an-1，an3an+1，n32，n?N*情況或an￡an-1，an￡an+1，n￡2，n?N*，即可判斷出{an}的項(xiàng)的最值情況。③求導(dǎo)，同上。(2)數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題。①分參（參變分離）轉(zhuǎn)化為數(shù)列最值問(wèn)題求解。②分類(lèi)討論解決③求導(dǎo)。