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1、構(gòu)造全等三角形解題江西省南昌縣蓮塘五中萬紅嬈在學完新課標八年級數(shù)學《全等三角形》之后，很多同學都發(fā)現(xiàn)，利用三角形全等可以解決很多線段或角度相等的問題，同學們都很喜歡用這種方法。但有的題目卻不能直接應用，需要根據(jù)條件作輔助線構(gòu)造全等三角形，下面我結(jié)合例題來介紹幾種常用的構(gòu)造全等三角形解題的方法。1、平移法構(gòu)造全等三角形例1：如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，若AB>AD，DC=BC，求證：∠B+∠D=180°分析：利用角平分線構(gòu)造三角形，將∠D轉(zhuǎn)移到∠AEC，而∠AEC與∠CEB互補，∠CEB=∠B，從而證得∠D+∠B=180°DC證明：在AB上截取AE=AD在△ADC和△AEC中1
2、23AD=AEAEB∠1=∠2AC=AC∴△ADC≌△AEC（SAS）∴∠D=∠AEC，DC=CE又∵DC=BC∴CE=BC∴∠3=∠B又∵∠3+∠AEC=180°∴∠B+∠D=180°特別提示：在此題證明中，采用的主題方法是“線、角進行轉(zhuǎn)移”。2、翻折法構(gòu)造全等三角形例2：如圖，已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，求證：AB=BC+CD。B證明：∵BD平分∠ABC，將△BCD沿BD翻折180°，點C落在BA上的E點。則有BE=BCE在△BCD與△BED中BC=BE（已證）DCA∠CBD=∠EBD（已知）BD=BD（公共邊）∴△BCD≌△BED（SAS）∴∠DE
3、A=∠ACB=90°CD=DE∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC∴∠A=45°∴∠EDA=∠A=45°∴DE=EA∴AB=BE+EA=BC+CD即AB=BC+CD3、旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造全等三角形例3：如圖，已知點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，并且AF平分∠EAD，求證：BE+DF=AE。分析：本題要證的BE和DF不在同一條線上，因而需設法將它們“組合”到一起，想辦法“鏈接”起來，可將△ADF繞點A旋轉(zhuǎn)90°至△ABG，則△ADF≌△ABG，DF=BG，從而將BE+BG轉(zhuǎn)化成線段GE，再進一步證明GE=AE即可。DAFCEGB證明：將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABG，則
4、△ADF≌△ABG∴∠G=∠AFD，∠GAB=∠FAD，DF=BG∴BE+DF=BE+BG=GE又∵AF平分∠EAD∴∠FAD=∠FAE=∠GAB∴∠GAB+∠BAE=∠FAE+∠BAE即∠GAE=∠BAF又∵AB∥CD∴∠BAF=∠AFD=∠G∴在△EAG中，AE=GE，那BE+DF=AE特別提示：本題利用旋轉(zhuǎn)巧妙地將兩條分離的線段“鏈接”在一起從而得證，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三角形全等是經(jīng)常用到的方法。4、延長法構(gòu)造全等三角形例4：如圖，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，試說明AB=AC+CD。ADEBC分析：證明一條線段等于另兩條線段之和，常用的方法是延長一條短線段使其等于長線段，再證明延
5、長部分與另一短線段相等即可。本題可延長AC至E，使AE=AB，構(gòu)造全等三角形，然后證明CE=CD就行了。解：延長AC至E，使AE=AB，連結(jié)DE。12∵AB=AE，∠1=∠2，AD=AD∴△ABD≌△AED∴∠B=∠E∵∠ACD=∠E+∠CDE∠ACD=2∠B∴∠ACD=2∠E∴∠E=∠CDE∴CD=CE∴AB=AC+CDA特別提示：本例中用到的方法叫“補短法”，定將較短的線段AC補長，構(gòu)造三角形全等，達到求解目的。本題也可采用“截長法”，即在AB上截取AF=AC，連結(jié)DF，構(gòu)造三角形全等，證得AB=AC+CD，請讀者自解。B5、截取法構(gòu)造全等三角形CED例5：如圖，已知△ABC中，邊BC
6、上的高為AD，又∠B=2∠C，求證：CD=AB+BD。分析：欲證CD=AB+BD，可以在CD上截取一段等于BD，再證明另一段等于AB，如果截取DE=BD（如圖），則△ADE可視為△ADB沿AD翻折而來。證明：在DC上截取DE=DB，連結(jié)AE，則△ADE≌△ADB∴AE=AB∠AEB=∠B∵∠AEB=∠C+∠CAE∠B=2∠CED=BD∴∠AEB=2∠C∴∠C=∠CAE∴CE=AE=AB∴CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD
