2.2.2圓周角（1）.2.2圓周角定理（1）

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1、2．2．2圓周角教學(xué)目標(biāo)1．了解圓周角的概念．2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．3．理解圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．4．熟練掌握?qǐng)A周角的定理及其推理的靈活運(yùn)用．設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想給予邏輯證明定理，得出推導(dǎo)，讓學(xué)生活動(dòng)證明定理推論的正確性，最后運(yùn)用定理及其推導(dǎo)解決一些實(shí)際問題．重難點(diǎn)、關(guān)鍵1．重點(diǎn)：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運(yùn)用它們解題．2．難點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理．3．關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在．教

2、學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們口答下面兩個(gè)問題．1．什么叫圓心角？什么叫圓周角？2．圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？老師點(diǎn)評(píng)：（1）我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角．我們把頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．（2）在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)的其余各組量都分別相等．剛才講的，頂點(diǎn)在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點(diǎn)不在圓心上，它在其它的位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解決的問題．二、自主合作（1）弧BC所對(duì)的圓心角有多少個(gè)？（2）拖動(dòng)圓周角的頂點(diǎn)使其在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)弧AB所對(duì)

3、圓周角有多少個(gè)？（3）發(fā)現(xiàn)這些圓周角與圓心的位置關(guān)系如何？（4）在圓形硬紙片上任取一段弧，畫出該弧所對(duì)的圓心角和任意一個(gè)圓周角。并將自己的作品進(jìn)行小組展示現(xiàn)在通過圓周角的概念和度量的方法回答下面的問題．1．一條弧所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有多少個(gè)？2．同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？3．同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？（學(xué)生分組討論）提問二、三位同學(xué)代表發(fā)言．老師點(diǎn)評(píng)：1．一條弧所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有無數(shù)多個(gè)．2．通過度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對(duì)的圓周角是沒有變化的．3．通過度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半．三、探究新知1．在幾何畫板上，分別量一下圖中弧AB所對(duì)的兩個(gè)圓周角的度數(shù)

4、，比較一下，再變動(dòng)點(diǎn)C在圓周上的位置，圓周角的度數(shù)有沒有變化？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？再分別量出圖中弧AB所對(duì)的圓周角和圓心角的度數(shù)，比較一下，你什么發(fā)現(xiàn)？2.下面，我們通過邏輯證明來說明“同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)沒有變化，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半．”（1）設(shè)圓周角∠ABC的一邊BC是⊙O的直徑，如圖所示∵∠AOC是△ABO的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC=∠AOC（2）如圖，圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的兩側(cè)，那么∠ABC=∠AOC嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成這道題的說明過程．老師點(diǎn)評(píng)：連結(jié)BO交

5、⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．（3）如圖，圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的同側(cè)，那么∠ABC=∠AOC嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成證明．老師點(diǎn)評(píng)：連結(jié)OA、OC，連結(jié)BO并延長(zhǎng)交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC現(xiàn)在，我如果在畫一個(gè)任意的圓周角∠AB′C，同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，因此，同弧上的圓周角是相等的．從（1）、（2）、（3），我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧

6、等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．進(jìn)一步，我們還可以得到下面的推導(dǎo)：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．下面，我們通過這個(gè)定理和推論來解一些題目．例1．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？分析：BD=CD，因?yàn)锳B=AC，所以這個(gè)△ABC是等腰，要證明D是BC的中點(diǎn)，只要連結(jié)AD證明AD是高或是∠BAC的平分線即可．解：BD=CD理由是：如圖24-30，連接AD∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD三、鞏固練習(xí)例2．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙

7、O，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別設(shè)為a，b，c，⊙O半徑為R，求證：===2R．分析：要證明===2R，只要證明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明顯要在直角三角形中進(jìn)行．證明：連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于D，連接DB∵CD是直徑∴∠DBC=90°又∵∠A=∠D在Rt△DBC中，sinD=，即2R=同理可證：=2R，=2R∴===2R四、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)）本節(jié)課應(yīng)掌握