離散數(shù)學(xué)第05章函數(shù)

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1、第五章函數(shù)5.1函數(shù)基本概念5.2函數(shù)類型5.3函數(shù)運(yùn)算5.4基數(shù)退出5.1函數(shù)基本概念函數(shù)也常稱為映射或變換，其定義如下：定義5.1.1設(shè)A和B是任意兩個(gè)集合，且F是從A到B的關(guān)系，若對(duì)每一個(gè)x?A，都存在唯一的y?B，使?F，則稱F為從A到B的函數(shù)，并記作F:A?B。A稱為函數(shù)F的定義域，即D(F)=A，B稱為函數(shù)F的陪域，R(F)稱為函數(shù)F的值域，且R(F)?B。有時(shí)也用F(A)表示函數(shù)F的值域，即F(A)=R(F)={y

2、y?B?(?x)(x?A?y=F(x))}并稱F(A)為函數(shù)F的像。對(duì)于F:A?B來(lái)說(shuō)，若?F，則稱

3、x為函數(shù)的自變?cè)?，稱y為函數(shù)因變?cè)?，因?yàn)閥值依賴于x所取的值，或稱y是F在x處的值，或稱y為F下x的像。通常把?F記作F(x)=y。從本定義可以看出，從A到B的函數(shù)F和一般從A到B的二元關(guān)系之不同有以下兩點(diǎn)：①A的每一元素都必須是F的有序?qū)χ谝环至?。②若F(x)=y，則函數(shù)F在x處的值是唯一的，即F(x)=y?F(x)=z?y=z考慮到習(xí)慣用法，以下常常將大寫函數(shù)符號(hào)F改為小寫字母f。定義5.1.2設(shè)f:A?B，g:C?D，若A=C，B=D，且對(duì)每一x?A都有f(x)=g(x)，則稱函數(shù)f和g相等，記為f=g。本定義表明了，兩函數(shù)相等，

4、它們必須有相同的定義域、陪域和有序?qū)?。有時(shí)需要縮小所給函數(shù)的定義域，或擴(kuò)大所給函數(shù)的定義域以創(chuàng)建新的函數(shù)，為此有下面定義。定義5.1.3設(shè)f:A?B，且C?A，若有g(shù)=f∩(C?B)則稱g是f到C的縮小，記為f

5、c，即g為C到B的函數(shù)：g:C?Bg(x)=f(x)或f

6、c(x)=f(x)定義5.1.4設(shè)f:C?B，g:A?B，且C?A，若g

7、c=f，則稱g是f到A的擴(kuò)大。下面討論由集合A和B，構(gòu)成這樣函數(shù)f:A?B會(huì)有多少呢？或者說(shuō)，在A?B的所有子集中，是全部還是部分子集可以定義函數(shù)？令BA表示這些函數(shù)的集合，即BA={f

8、f:A?B}設(shè)

9、A

10、

11、=m，

12、B

13、=n，則

14、BA

15、=nm。這是因?yàn)閷?duì)每個(gè)自變?cè)?，它的函?shù)值都有n種取法，故總共有nm種從A到B的函數(shù)。上面介紹一元函數(shù)，下面給出多元函數(shù)的定義。定義5.1.5設(shè)A1,A2,···,An和B為集合，若f:Ai?B為函數(shù)，則稱f為n元函數(shù)。在上的值用f(x1,x2,···,xn)表示。一元函數(shù)中概念對(duì)n元函數(shù)幾乎完全適用，在這里不多討論了。5.2函數(shù)類型根據(jù)函數(shù)具有的不同性質(zhì)，可以將函數(shù)分成不同的類型。本節(jié)將定義這些函數(shù)，并給出相應(yīng)的術(shù)語(yǔ)。定義5.2.1設(shè)f:A?B是函數(shù)，若R(f)=B，或?qū)θ我鈈?B，存在a?

16、A，使得f(a)=b，或形式表為：(?y)(y?B?(?x)(x?A?f(x)=y))則稱f:A?B是滿射函數(shù)，或稱函數(shù)f:A?B是滿射的。本定義表明了，在函數(shù)f的作用下，B中每個(gè)元素b，都至少是A中某元素a的像，因此，若A和B是有窮集合，存在滿射函數(shù)f:A?B，則

17、A

18、≥

19、B

20、。定義5.2.2設(shè)f:A?B是函數(shù)，對(duì)任意的a，b?A，且a?b，都有f(a)?f(b)，或形式表為(?x)(?y)(x,y?A?x?y?f(x)?f(y))則稱f:A?B是單射函數(shù)（或一對(duì)一函數(shù)），或稱函數(shù)f:A?B是單射的，或入射的。本定義揭示了，A中不同的元素，其在B

21、中像也是不同的。于是，若A的B是有窮集合，存在單射函數(shù)f:A?B，則

22、A

23、≤

24、B

25、。定義5.2.3設(shè)f:A?B是函數(shù)，若f既是滿射又是單射，則稱f:A?B是雙射函數(shù)（或一一對(duì)應(yīng)），或稱函數(shù)f:A?B是雙射的。該定義說(shuō)明了，B中的每個(gè)元素b是且僅是A中某個(gè)元素a的像。因此，若A和B是有窮集合，存在雙射函數(shù)f:A?B，則

26、A

27、=

28、B

29、。定義5.2.4設(shè)f:A?B是函數(shù)，若存在b?B，使對(duì)任意a?A有f(a)=b，即f(A)=，則稱f:A?B為常值函數(shù)。定義5.2.5設(shè)f:A?A是函數(shù)，若對(duì)任意a?A，有f(a)=a，亦即f={

30、x?A}

31、則稱f:A?A為A上恒等函數(shù)，通常記為IA，因?yàn)楹愕汝P(guān)系即是恒等函數(shù)。由定義可知，A上恒等函數(shù)IA是雙射函數(shù)。定義5.2.6設(shè)A和B為集合，且A?B，若函數(shù)?A:B?{0,1}為1x?AxA(x)=0否則則稱xA為集合A的特征函數(shù)。{特征函數(shù)建立了函數(shù)與集合的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。于是，可通過特征函數(shù)的計(jì)算來(lái)研究集合上的命題。定理5.2.1設(shè)A和B是全集合U的任意兩個(gè)子集。對(duì)任意x?U，則下列關(guān)系式成立。①?A(x)=0?A=?②?A(x)=1?A=U③?A(x)≤?B(x)?A?B④?A(x)=?B(x)?A=B⑤?A’(x)=1-?A(x)⑥?A∩B(

32、x)=xA(x)*xB(x)⑦?A∪B(x)=?A(x)+?B(x)-?A∩B(x)⑧?A-B(x)=?A∩B’(x)=?