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1、第6章函數(shù)1主要內(nèi)容6.1函數(shù)的概念6.2復(fù)合函數(shù)與逆函數(shù)6.3基數(shù)的概念6.4基數(shù)的比較26.1函數(shù)的概念定義6.1.1函數(shù)一種特殊的關(guān)系亦稱映射或變換設(shè)A和B是非空集合,f是一個從A到B的 關(guān)系，如果對于每一個a∈A，均存在唯一的b∈B，使得∈f，則稱關(guān)系f是由A到B的一個函數(shù)。記作f:A→B。特殊地，當A=B時，稱f是A上的函數(shù)∈f通常記作f(x)=y3例：判斷以下關(guān)系是否為函數(shù)4例例6.1.3設(shè)E是全集，A?E，那么A的特征函數(shù)ΧA是E到{0,1}的函數(shù)：?a∈E，例設(shè)E=
2、｛a,b,c,d｝,A=｛b,d｝ΧA:E→｛0,1｝ΧA={,,,}5設(shè)A和B是全集E的任意兩個子集,對所有x∈E,下列關(guān)系式成立?x(ΧA(x)=0)?A=Φ?x(ΧA(x)=1)?A=E?x(ΧA(x)≤ΧB(x))?A?B?x(ΧA(x)=ΧB(x))?A=BΧ~A(x)=1－ΧA(x)ΧA∩B(x)=ΧA(x)ΧB(x)ΧA∪B(x)=ΧA(x)+ΧB(x)－ΧA∩B(x)ΧA－B(x)=ΧA∩~B(x)=ΧA(x)－ΧA∩B(x)6函數(shù)的定義域和值域
3、設(shè)f:X→YX——f的前域(定義域domf)Y——f的陪域(值域ranf?Y)f(x)=yx——函數(shù)的自變元y——自變元x的函數(shù)值，也稱為x的像domf=Xranf=f(X)如果f(x)=y1和f(x)=y2,那么y1=y27設(shè)f:X→YX’?Xf(X’)={y
4、?x(x∈X’∧f(x)=y)}?Y稱f(X’)為X’的象稱X’為f(X’)的原象例f:N→N,f(x)=2x.A’=N偶={0,2,4,6,…}={2k
5、k∈N},f(A’)={0,4,8,12,…}={4k
6、k∈N}B’={2+4k
7、k∈
8、N}={2,6,10,14,…},B’的原象={1+2k
9、k∈N}={1,3,5,7,…}=N奇象(image)與原象(preimage)8例假定f:｛a,b,c,d｝→｛1,2,3,4｝f(｛a｝)=｛1｝;f(｛a,b｝)=｛1,3｝;f(｛a,b,c｝)=｛1,3｝;ranf=f(｛a,b,c,d｝)=｛1,3,4｝;9定義6.1.2設(shè)f:X→Y,g:W→Z,如果X=W,Y=Z,且對每一x∈X有f(x)=g(x)則稱f=g.函數(shù)相等的定義和關(guān)系相等的定義一致必須有相同的前域與陪域和相等的序偶集合
10、例f:I→I,f(x)=x2g:｛1,2,3｝→I,g(x)=x2是兩個不同的函數(shù)10通常用BA表示從集合A到集合B的所有函數(shù)的集合,讀作B上ABA={f
11、f:A→B}設(shè)｜A｜=m,｜B｜=n，共有多少個A到B的函數(shù)？｜BA｜=nm例：設(shè)A＝{a,b,c}，B＝{0,1}。則共有８個A到B的函數(shù)(它們分別是A的８個子集的特征函數(shù))，它們是f1＝{,,}f2＝{,,}f3＝{,,}f4＝{,,<
12、c,1>}f5＝{,,}f6＝{,,}f7＝{,,}f8＝{,,}11函數(shù)是特殊的關(guān)系，故也可用關(guān)系圖或關(guān)系矩陣來表示函數(shù)例：集合A＝{1,2,3,4}上的函數(shù)f＝{<1,2>,<2,3>,<3,4>,<4,1>}12特殊函數(shù)類滿射、入射和雙射定義6.1.3設(shè)f是從X到Y(jié)的函數(shù)如果x≠x’蘊含著f(x)≠f(x’)(即f(x)=f(x’),那么x=x’),那么f是入射(injecti
13、on,單射，一對一的，1-1)如果f(X)=Y,那么f是滿射(surjection,映上的,onto)如果f既是滿射又是入射,那么f是雙射(bijection,1-1,onto)雙射常稱作一一對應(yīng)，又稱集合同構(gòu)(setisomorphism)13例6.1.9設(shè)A和B是兩個集合，若存在b∈B使得對任意a∈A皆有f(a)＝b，則稱f是常函數(shù)一般說來，常函數(shù)不是入射，也不是滿射(除非B是一個一元集合)。例6.1.10設(shè)R是一集合X上的等價關(guān)系,函數(shù)g:X→X／R,g(x)=［x］R叫做從X到商集X／R的規(guī)范
14、映射.例設(shè)X=｛a,b,c,d｝,Y=｛0,1,2,3,4｝,f:X→Y,f(a)=1,f(b)=0,f(c)=1,f(d)=3f誘導(dǎo)的X上的等價關(guān)系R有等價類｛a,c｝,｛b｝，｛d｝從X到X／R的規(guī)范映射g:｛a,b,c,d｝→｛｛a,c｝,｛b｝,｛d｝｝g(a)=｛a,c｝,g(b)=｛b｝g(c)=｛a,c｝,g(d)=｛d}14定理6.1.1若f是Ａ到Ｂ的函數(shù)，其中Ａ和Ｂ都是非空有限集，且#Ａ＝#Ｂ，那么：f是一個入射ifff是一個滿射。證明
