初中數(shù)學(xué)幾何最值問(wèn)題

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1、初中數(shù)學(xué)幾何最值問(wèn)題面面觀在平面幾何的動(dòng)態(tài)問(wèn)題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量(如線段的長(zhǎng)度、圖形的周長(zhǎng)或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差)的最大值或最小值問(wèn)題，稱(chēng)為幾何最值問(wèn)題.近年來(lái)，各地中考題常通過(guò)幾何最值問(wèn)題考查學(xué)生的實(shí)踐操作能力、空間想象能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.本文針對(duì)不同類(lèi)型的幾何最值問(wèn)題作一總結(jié)與分析，希望對(duì)大家有所幫助.最值問(wèn)題的解決方法通常有如下兩大類(lèi):一、應(yīng)用幾何性質(zhì)1.三角形的三邊關(guān)系例1如圖1，，矩形的頂點(diǎn)、分別在邊上.當(dāng)分在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨之在邊上運(yùn)動(dòng)，矩形的形狀保持不變，其中，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為()(A)(B)(c)(D)分析如圖1，

2、取的中點(diǎn)，連結(jié).,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大，此時(shí)，,.,Z的最大值為.故選A.2.兩點(diǎn)間線段最短例2如圖2，圓柱底面半徑為2cm,高為cm，點(diǎn)分別是回柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且在同一母線上，用一棉線從順著圓柱側(cè)面繞3圈到，求棉線長(zhǎng)度最短為.分析如圖3，將圓柱展開(kāi)后可見(jiàn)，棉線最短是三條斜線的長(zhǎng)度，第一條斜線與底面回周長(zhǎng)、圓柱的三分之一高組成直角三角形.由周長(zhǎng)公式知底面圓一周長(zhǎng)為cm，圓柱的三分之一高為cm，根據(jù)勾股定理，得一條斜線長(zhǎng)為cm，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，棉線長(zhǎng)度最短為cm.3.垂線段最短例3如圖4，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段最短時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為()(A)(B)(C)(D)分析如

3、圖4，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)作軸，垂足為.由垂線段最短可知，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，最短.∵點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，∴是等腰直角三角形∴為等腰直角三角形∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，，的坐標(biāo)為∴當(dāng)線段最短時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為故選B.4.利用軸對(duì)稱(chēng)例4如圖5，正方形，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.分析連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié).∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴的長(zhǎng)即為的小值，是的中點(diǎn)，在中二、代數(shù)證法1.利用配方法例5如圖6是半圓與矩形結(jié)合而成的窗戶(hù)，如果窗戶(hù)的周長(zhǎng)為8米，怎樣才能得出最大面積，使得窗戶(hù)透光最好?分析設(shè)表示半圓半徑，表示矩形邊長(zhǎng)，則有,于是，①若窗戶(hù)的最大面積為，則②把①代入②，有.上式中，只有時(shí)，等號(hào)成立.這時(shí)，由①有

4、，即當(dāng)窗戶(hù)周長(zhǎng)一定時(shí)，窗戶(hù)下部矩形寬恰為半徑時(shí)，窗戶(hù)面積最大.2.利用一元二次方程根的判別式例6已知：，且，求的最小值.解令，代入，，去分母，整理，得∵為實(shí)數(shù)，或∵，.故的最小值為8.