挖掘數(shù)形結(jié)合，提高解題能力

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1、挖掘數(shù)形結(jié)合，提高解題能力徐國英摘要：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)（恩格斯語）?！皵?shù)”與“形”是數(shù)學(xué)的基木研究對象，它們之間存在著對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，將抽象的數(shù)學(xué)語言同直觀的圖形相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)抽象的概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，這就是數(shù)形結(jié)合的思想。因此，我們根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義又揭示出隱含在它內(nèi)部的幾何背景，啟發(fā)思維，一方面，借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，以獲得精確的結(jié)論。這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，巧妙和諧地結(jié)合起來,

2、不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時(shí)還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了一條重要途徑。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；提高解題能力；學(xué)牛在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是一條重要的數(shù)學(xué)原則。作為解題方法，“數(shù)形結(jié)合”實(shí)際上包含“以數(shù)助形”和“以形輔數(shù)”兩方面的含義：一方面對“形”的問題，引入坐標(biāo)系或?qū)ふ移鋽?shù)量關(guān)系式，用“數(shù)”的分析加以解決；另一方面對于數(shù)量間的關(guān)系問題，分析其幾何意義，借助形的直觀來解。在平面解析幾何和立體幾何中體現(xiàn)的明顯一些，而在高中數(shù)學(xué)的其他內(nèi)容中也有著廣泛的應(yīng)用。如下面一些例了：一、數(shù)形結(jié)合思想在解決集合問題中的應(yīng)用在集合的子集問題與集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算中，我們經(jīng)常運(yùn)

3、用Venn圖與數(shù)軸來解決。例：L.某班共30人，其中15人喜愛籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)，8人對這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛，求喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)。分析：我們可用圓圈A、B分別表示喜愛籃球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)和喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)（如右圖），則A、B的公共部分表示既喜愛籃球運(yùn)動(dòng)又喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)，設(shè)為，則有，解得。所以喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為二12?本題利用Venn圖就可以把班級里的4類人的人數(shù)分的很清楚，求解時(shí)便捷準(zhǔn)確。二、數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)問題中的應(yīng)用尤為突出1?利用數(shù)形結(jié)合思想來解決函數(shù)的最值問題。例2.求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間與最小值。分析：根據(jù)二次函數(shù)的作圖方

4、法，可得函數(shù)圖象，如圖：所以由圖可知：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[—1,0）,[1,3]o當(dāng)時(shí)，取最小值?我們在研究一個(gè)新的函數(shù)時(shí)，通常是設(shè)法先畫出它的圖象，然后根據(jù)圖象就可以直觀的研究它的性質(zhì)。2?利用數(shù)形結(jié)合思想還可以解決方程和不等式問題解決方程和不等式問題時(shí)，我們往往需要將原題的意思進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，聯(lián)系上相應(yīng)的函數(shù)，才能利用其圖象解決問題。這就需要時(shí)刻培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，一旦遇到疑難繁瑣的問題時(shí)，就要聯(lián)系上相應(yīng)的圖形來解決。例3?求方程的解的個(gè)數(shù)。分析：此方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為的圖象與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。因?yàn)?，所以，所以。在平面直角坐?biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖，可直觀地看出兩曲線有3個(gè)交點(diǎn)

5、。例4.已知實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組，求函數(shù)的值域。分析：由解析幾何知識可知，所給的不等式組表示圓的右半圓(含邊界)，可改寫為y+3=z(x+1),把z看作參數(shù)，則此方程表示過定點(diǎn)P(-l,-3),斜率為z的直線族.則所求問題的幾何意義是：求過半圓域x2+y2≤4(x≥0)內(nèi)或邊界上任一點(diǎn)與點(diǎn)P(-l,-3)的直線斜率的最大、最小值.由圖顯見，過點(diǎn)P和點(diǎn)A(0,2)的直線斜率最大，?過點(diǎn)P向半圓作切線，切線的斜率最小?設(shè)切點(diǎn)為B(a,b),則過B點(diǎn)的切線方程為ax+by=4?又B在半圓周上，P在切線上，則有解得因此。綜上可知函數(shù)的值域?yàn)?。從以上這些例子我們可以體會(huì)到在數(shù)形轉(zhuǎn)化結(jié)

6、合的過程中，必須遵循下述原則：(1)等價(jià)性原則。在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞?有時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一?般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，但它同時(shí)也是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo)。(2)雙向性原則。在數(shù)形結(jié)合吋，既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析(或僅對幾何問題進(jìn)行代數(shù)分析)在許多時(shí)候是很難行得通的。例如，在解析幾何中，我們主要是運(yùn)用代數(shù)的方法來研究幾何問題，但是在許多時(shí)候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會(huì)使得復(fù)雜的問題簡單化。(3)簡單性原則。就是找到解題思

7、路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法、或者兼用兩種方法來敘述解題過程，則取決于那種方法更為簡單?而不是去刻意追求一種流性的模式一一代數(shù)問題運(yùn)用幾何方法，幾何問題尋找代數(shù)方法。三、多媒體技術(shù)為數(shù)形結(jié)合的實(shí)施架設(shè)了橋梁對于一些較復(fù)雜、抽象、需有一定想象能力、教師只用嘴和筆說不清的問題，借助于多媒體將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入課堂教學(xué)，可以活躍課堂氣氛，減輕教學(xué)負(fù)擔(dān)，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想、發(fā)現(xiàn)的能力。多媒體技術(shù)使數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)手段豐