中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：一道關(guān)于三角形幾何題的變式探究

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1、一道關(guān)于三角形幾何題的變式探究一、原題再現(xiàn)題目如圖1,在APAB屮，點(diǎn)C、D在邊AB上，PC=PD=CD.ZAPB=120°,AAPC與△PBD相似嗎？為什么？圖1略解本題由PC=PD得出ZACP=ZPDB,利用三角形內(nèi)角和定理與推論得出ZA+ZB=60°,ZA+ZAPC=60°,得出ZB=ZAPC,從而判定厶APC^APBD.點(diǎn)評本題容易得出ZACP=ZPDB.需要根據(jù)“兩個(gè)角分別與同一個(gè)角的和相等，這兩個(gè)角相等”再找出一對等角，然后運(yùn)用“兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似”解決問題，旨在初步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會探尋滿足三

2、角形相似條件的思路和方法.二、變式探究1、探究邊之間的關(guān)系變式1如圖1,在APAB中，點(diǎn)C、D在邊AB上，PC=PD=CD,ZAPB=120°,試證明：CD2=AC?BD.略解由原題的結(jié)論△片PCsNPRD,可得焉二器又pc=pd=cd'所以少=AC?BD.2、探究其它相似三角形變式2上題中共有兒對相似三角形？請分別表示出來，線段AP是哪兩條線段的比例中項(xiàng)？線段BP是哪兩條線段的比例中項(xiàng)？略解除了△APCs/XPBD之外，易證△APCs/ABP,△ABPs/PBD,共3對.進(jìn)一步得出AP2=AC?AB,B

3、P2=BD?BA,即AP是AC和AB的比例中項(xiàng)，BP是BD和BA的比例屮項(xiàng)，點(diǎn)評判定三角形相似的條件的運(yùn)用包括下列內(nèi)容：（1）根據(jù)相似三角形的條件，由已知的邊或角求未知的邊或角；（2）根據(jù)所給的條件判定兩個(gè)三角形相似；（3）根據(jù)所給條件判定兩個(gè)三角形相似，再根據(jù)相似條件，求出相應(yīng)的比例式或未知的邊或角，顯然，設(shè)計(jì)變式1和變式2的目的亦如（3）.教學(xué)時(shí)，作為教師要明確課本設(shè)置問題的目的，不能只滿足于原問題的解決，要引導(dǎo)學(xué)生多想想還能得出什么結(jié)論.3、探究等腰三角形背景下相似的條件變式3如圖2,在ZPAB中，點(diǎn)

4、C、D在邊AB上，PC=PD.請你添加一個(gè)條件，使得AAPC與ZXPBD相似.p圖2略解1乙APC=乙BPD,或Z4=厶或4C二BD.略解2Z.4=厶BPD,或/_PC=乙B,或需=焉'或P?=AC-BD-變式4如圖2,在APAB中，點(diǎn)C、D在邊AB上，PC=PD.試探究：當(dāng)ZAPB與ZCPD滿足什么關(guān)系時(shí)厶APC^APBD.略解若AAPC=乙B,或ZA=ZBPD,J1!JZUPCs4PBD.?/乙APC+乙?1.1=厶PCD=y（180°一ZCPD、,??厶B+乙A二180°-乙APB,故當(dāng)乙APC+乙4

5、二乙B+Z.A時(shí)，AAPC=4即滿足4-（1甜°-厶CPD）=180°-乙乙或乙APB=90。+~^CPD時(shí)，AAPCs4PBD.點(diǎn)評變式3具有一定的開放性，給學(xué)生較大的思維想象空間.題目并沒有滿足于特殊的等邊三角形，而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)、交流、探討：若是一般的等腰三角形能否判定三角形相似，如果不能還需要再滿足什么條件.由條件只能得到ZACP=ZPDB,耍判定兩三角形相似，既可以從邊上尋找，也可以從角上探尋；而AAPC與APBD相似又存在著兩種對應(yīng)情況，即厶APC^ABPD與厶APCs/PBD,因此要引導(dǎo)

6、學(xué)生全面的考慮問題，在變式4的探究教學(xué)中，不妨從特殊的角度入手，如ZAPB和ZCPD分別等于110。和40°、120°和60°、130°和80°、140°和100°等能否判定△APC^APBD,再引導(dǎo)分析二者之間的數(shù)量關(guān)系，最后再猜想證明.4、探究動點(diǎn)A在直線CD上的相似三角形變式5如圖3,在厶PCD44,PC=PD=CD,點(diǎn)A在邊CD或CD的延長線上，ZAPG=120°,直線PG與直線CD相交于點(diǎn)B.AAPC與ZPBD相似嗎？為什么？GBDC⑴PD⑵CB略解圖3(1)中宙6PC+乙BPC=60。，乙B+乙

7、BPC=60。，可得乙APC=乙B；又MCA=5=60°t.A4PCsZ^PBD.圖3(2)同理口J證.變式6在APCD中，PC=PD,點(diǎn)A在邊CD或CD的延長線上，ZAPG=110°.ZCPD=40°,直線PG直線CD相交于點(diǎn)B.AAPC與ZXPBD相似嗎？為什么？圖4解法類同上題(略).點(diǎn)評教師利用幾何畫板演示運(yùn)動的過程，通過將點(diǎn)A變化為直線CD上的一個(gè)動點(diǎn),在滿足PC=PD以及ZAPG=90°+-ZCPD的條件下發(fā)現(xiàn)三角形的相似關(guān)系、邊之間的2關(guān)系仍然成立，再進(jìn)行說理證明，體會“動中有靜，變化中蘊(yùn)含不

8、變”的辯證關(guān)系.三、綜合運(yùn)用1、與圓的綜合變式7如圖5(1),OO與厶AOB的邊AB交于點(diǎn)C、D,ZA+ZB=ZCOD=60°,若AC=4,AO=2>/7,求ADOB的面積?略解要求ADOB的面積，需求出BD及BD邊上的高.根據(jù)原題與變式1的結(jié)論,圖4解法類同上題(略).點(diǎn)評教師利用幾何畫板演示運(yùn)動的過程，通過將點(diǎn)A變化為直線CD上的一個(gè)動點(diǎn),在滿足PC=PD以及ZAPG=90°+-ZCPD的條件下