中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo):關(guān)于一道初中幾何開放題解答的研討

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1、關(guān)于一道初中幾何開放題解答的研討例題如圖1,在平行四邊形ABCD中,ABHBC,E、F為對(duì)角線BD上的兩點(diǎn).要使四邊形AECF為平行四邊形,在不連結(jié)其它線段的條件下,還需要添加的一個(gè)條件是這是一道常見(jiàn)的條件開放型試題,答案不唯一.旨在通過(guò)添加條件,復(fù)習(xí)鞏固平行四邊形的性質(zhì)與判定及其靈活運(yùn)用,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維,發(fā)展合情推理能力和演繹推理能力,切實(shí)提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.有學(xué)生添加一條件是ZEAF=ZECF,這個(gè)答案究竟是錯(cuò)的,還是對(duì)的?留下了“懸疑”,本文對(duì)此問(wèn)題作一研討.一、初步驗(yàn)證如圖2,打開幾何畫板,在平行四邊形

2、ABCD中,ABHBC,在對(duì)角線BC上取一動(dòng)點(diǎn)E,連結(jié)AE、CE.在AE、CE的同側(cè)作ZEAF)=ZEDF2=Za,分別交BC于F】、F2.當(dāng)Za不變,用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)E使Fi與F2重合吋,可以發(fā)現(xiàn)四邊形AECF是平行四邊形;當(dāng)點(diǎn)E不動(dòng),用鼠標(biāo)改變Zot的大小使得F]與F2重合時(shí),可以發(fā)現(xiàn)四邊形AECF為平行四邊形.故認(rèn)為添加ZEAF=ZECF這一條件一定能使四邊形AECF為平行四邊形,但這只是推測(cè),耍使學(xué)生信服,還需給出證明過(guò)程.圖2二、探究歷程方法1聯(lián)想由平行四邊形ABCD易得點(diǎn)A、C到BD的距離相等,有Saaef=Sacef

3、,如圖1.又添加條件ZEAF=ZECF,由此聯(lián)想到當(dāng)兩個(gè)三角形滿足以下四個(gè)條件:①、兩三角形的周長(zhǎng)相等;②、兩三角形的面積相等;③、兩三角形有一邊相等;④一邊相等的兩三角形中相等的邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等時(shí),就可以證得這兩個(gè)三角形全等.因此欲證明該題只需證得①,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證AAEF與ACEF的周長(zhǎng)相等,故只需證AE+AF=CE+CF.令A(yù)E=m,AF=n,CE=p,CF=q.由S△肚尸=ymnsina,S4CEF:1=尹gsina,得mn=pq?由余弦定理,得EF2二m2+n2-2mncosa9又EF1二p?+_2pgcosa,/.

4、m+n=p1+q2,m+n=p+q.于是可得AAEF與ACEF全等,因?yàn)锳BHBC,故平行四邊形ABCD不可能是菱形,也就說(shuō)明AE不可能與CE對(duì)應(yīng),只能△AFF^ACFE,從而問(wèn)題得證.優(yōu)化方法1可以說(shuō)明問(wèn)題的正確性,但其中還涉及了課標(biāo)之外的知識(shí),且比較繁瑣,因而可在其基礎(chǔ)上加以改進(jìn)與優(yōu)化.于是過(guò)點(diǎn)E作EG丄AF于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)F作FH丄EC于點(diǎn)H,如圖3.圖3C由厶EAF=乙ECF,得NAEGs△CFH,七FHCH.宜EGAG設(shè)AG=m,EG=n9則CH=km,FH=kn.又由Sr陽(yáng)得j-AF?EG=j-CE?FH,有4F?EG

5、二CE?FH,AFFH.…CE"EG"設(shè)CE二s,則4F=ks,根據(jù)勾股定理,得EF2=EG2+FG2=EH2+FH2,即/+(ks-m)2=(s-km)2+(kn)2.化簡(jiǎn)得n2+k2s2+zn2=s2+k'm2+k2n2,n+k2s2+zn2-s2-k2m2-k2n2=0,(s2-m-n2)-(52-m2-n2)=0,(k2-1)(52-rrt-n2)=0.得A=1,或%=-1(舍去),或/=m2+n(由ABHBC可推得4E工EC,故舍去),.??CE=AF.^AEG竺厶CFH,易得四邊形AECG是平行四邊形.方法2對(duì)稱變

6、換圖形變換是解決幾何證明題的基本方法,因此本題可將AAEF沿BD翻折,從而使問(wèn)題得以轉(zhuǎn)化.如圖4,作A點(diǎn)關(guān)于BD對(duì)稱點(diǎn)G,連結(jié)EG、FG、CG,易得△AEF^AGEF.又點(diǎn)A、C到BD的距離相等,故得點(diǎn)G、C到BD的距離相等,AGC//BD.又添加的條件為ZEAF=ZECF,???ZECF=ZECF.???E、G、C、F四點(diǎn)共圓.由平行弦所夾的弧相等,得F,C=FC,故得四邊形EFCC是等腰梯形,ALGEF=ZEFC.又ZAEF=LGEF,???ZAEF=ZEFC.???AE〃FC,易得四邊形AECF是平行四邊形.圖4優(yōu)化方法

7、2通過(guò)翻折將問(wèn)題巧妙轉(zhuǎn)化,但其屮四點(diǎn)共圓的知識(shí)超出了課標(biāo),于是可作如下調(diào)整:如圖4,在上述刈稱變換的基礎(chǔ)上,易得ZEGF=ZECF,ZEHG=ZFHC,AAEHC^AFHC.又Sagef=Sacef,得Saceh=Sacfh,故兩個(gè)三角形的相似比為1,得AFHC^AFHC,得EH=FH.有ZEFH=ZFEH,ZEFA=ZFEH,得AF〃CE,從而使問(wèn)題獲證.方法3正難則反通常我們?cè)诮鈹?shù)學(xué)題吋,習(xí)慣于正向思維.但事實(shí)上有些問(wèn)題從正面人手較難,而從問(wèn)題的反面出發(fā),逆向思考,這就是“正難則反”的解題策略.故本題可運(yùn)用反證法,從ZBA

8、E與ZDCF的大小關(guān)系入手.若ZBAEHZDCF,則有ZDCF>ZBAE,或ZDCFvZBAE.不妨設(shè)ZDCF>ZBAE.則在ZDCF內(nèi)部作ZGCD=ZBAE,使CG交BD于G,連結(jié)AG、CG,如圖5.易得四邊形AECG是平行四邊形,有AE也CG.過(guò)點(diǎn)F作HF=XZAE,連結(jié)

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