遞推公式為分式型數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題探究

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1、遞推公式為分式型數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題探究對(duì)于形如遞推公式為色=仙-

2、+3（ChO,AD-BC^O）的數(shù)列｛atl｝f這類問(wèn)Cd”—+D題有一般性的公式解法，通常用特征方程求不動(dòng)點(diǎn)，即先求解遞推公式所對(duì)應(yīng)的特征方程,求出不動(dòng)點(diǎn)，然后再解。雖然這類題本身有特征方程求不動(dòng)點(diǎn)等的知識(shí)背景，但高考題并不考，也不依賴于這知識(shí)，從所給的標(biāo)準(zhǔn)答案來(lái)看，其立意在于將遞推數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知數(shù)列的已知知識(shí)來(lái)解決，即轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列來(lái)解決。那么，有沒(méi)有不用高等數(shù)學(xué)知識(shí)，而只用高屮數(shù)學(xué)知識(shí)的方法？這類問(wèn)題是否存在通項(xiàng)公式？若存在乂怎

3、么來(lái)求？下面通過(guò)具體例子介紹一種方法，僅供參考！例題例題1：（2010年全國(guó)高考數(shù)學(xué)理科第22題）已知數(shù)列｛陽(yáng)｝中，a｝=?+】%一2求數(shù)列｛$｝的通項(xiàng)公式;（II）求使不等式％

4、—2=2=—2J2仇亦即再倒數(shù)即：一-—二上一+2匕+1_2%_2仇防4仇+2,下一步再變形:=4(bn+-I3丿,所以臉+

5、｝是首項(xiàng)為公比為4的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出數(shù)列｛仇｝的通項(xiàng)公式。（II）略例題2：（2008年全

6、國(guó)高考數(shù)學(xué)陜西卷理科第22題）已知數(shù)列｛色｝的首項(xiàng)a,=

7、,伉“+嚴(yán)2；"；$'n=l，2,3…（i）求仏｝的通項(xiàng)公式；一，11（2、（ii）證明：對(duì)任意的x>0,a三—x,n=l,2,3??-”1+兀（1+X）2&丿(iii)證明：勺+禺+???+%>上【H+1分析:(i)由an+i=5兩邊同時(shí)加上2,2^+1(3+22)d+A得色+l+Q=l丿”2/1倒數(shù)得W+2(3+2小”+2—丄22、3+22丿—+2;'+3+22令是"(目的使分母成P+幾”眥得久=0,或A=—1,不妨取2=0,于是有土Y+右變形土—q丄-

8、112,乂一-1=—,所以，數(shù)列5丄-1[是”3+2/12112123"以—為首項(xiàng)，一為公比的等比數(shù)列。于是：有一—1==—，得色=[—33an33,,_13"3”+2(ii)略例題3：(2007年全國(guó)高考數(shù)學(xué)理科試卷第22題)：己知：數(shù)列｛%｝中，a〕=2,%+]=(血一1)(°“+血)，n=,2,3???(I)求匕｝的通項(xiàng)公式;(II)若數(shù)列｛仇｝中b、=2,乞+】=—,〃=1,2,3??-證明：/2

9、首項(xiàng)為2-V2,公比為血-1的等比數(shù)列所以an=y/2(V2-l)l,斤=1,2,3???“)對(duì)％嚴(yán)器兩邊同時(shí)加兀得：仇#+x二逆上+x；W：bn^+X=(2x+3)^+3x+4n+,2仇+3岡2仇+3倒數(shù)：_!—=2仇+3仇+i+兀（2x+3）仇+3x+432（3x+4）2兀+3（2兀+3）2].3x+4h+——”2x+32H2x+3（1）3Y4-4可令：2冇，目的是使分母變成P+龍”型則（1）式可化為一!—=土空?一^+」一bnU+x2%+3hn+x2x+3（2）得x=±V2;不妨取x=_迥則(2)式可變?yōu)閎

10、十邁3-2^2嘰-近3-2V2即：（V2+1“?—^+2它是形如“汕巳耳+廠的式子；易求b,廠邁=(V2+1)-1所以：bt=421+24—2-1;顯然，仇〉血。由（i）知：an-yfl（血-1）所以%_3=邁（V2-1）4/?-3于是:a4n_315—3（逅+1廠（Q+1廣Ji1+1一、一30+1）-近2+1=V21[血+1廠所以，b”W%一3綜上可知,VbnW勺心，n=l92,3…探求:對(duì)于色+i::”；：(ChO,4?D-B?ChO)型通項(xiàng)公式的方法可以推廣到一般，結(jié)果總結(jié)如下:對(duì)于色零兩邊同時(shí)恥，得：…雷+

11、xn-BP：暫(4+Cx)an_{+(B+Dx)+x=Can-+D倒數(shù):川-1■“an+x(A+Cx)aH_}+(B+Dx)即:c1&+++(B+￡>x)]+D-C(B+Dx)A+Cx(A+Cx)an_{+(B+Dx)所以：—an+XDC{B+Dx)A+CxC+A+Cx即：①+XDC(B+Dx)A+Cx(A+Cx)21Cx1、B+DxA+Cxan

12、+A+Cx為了使上述等式左右成“一^”形式，可令色竺an+xA+CxWJ：1_D-Cxan+xA+CxCA+Cx(*)(ChO)由方程船"得：方程有解的條件為：（A—

13、D）2+4BC$0在此條件下可求出該方程解：X,,x2;不妨令X=Xj.[、]1D—Cx}1C貝

14、J(*)式可變?yōu)椋?x1an+兀1A+Cx{an_x+?！緼+Cx,則仇=P+q（其中〃D—CX

15、A+Cx}11an-l+K對(duì)于上述數(shù)列｛bfl｝是很容易求出它的通項(xiàng)公式的。即可求出數(shù)列｛討?。耐?xiàng)。進(jìn)而求出數(shù)列｛色｝通項(xiàng)公式來(lái)。以上方法盡管和對(duì)較麻煩些，但它