《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》PPT課件

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1、§6.2三大統(tǒng)計(jì)分布本節(jié)介紹數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的三個(gè)著名分布，它們?cè)趨?shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)推斷問題中有廣泛應(yīng)用.一、X平方-分布定義6.1設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立且服從相同分布，則稱(6-8)所服從的分布是自由度為n的-分布，記為，稱為-變量.為紀(jì)念英國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾（K.Pearson，1857-1936）-分布也稱為皮爾遜-分布.這是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一個(gè)十分重要的概率分布.根據(jù)獨(dú)立隨機(jī)變量和的密度公式(3-27)和數(shù)學(xué)歸納法，可以證明：-分布的概率密度函數(shù)為（詳見[5]），（6-9）其中是-函數(shù)，定義見第四章附錄2．圖6.1

2、是-變量的概率密度函數(shù)(6-9)在幾種不同參數(shù)下的圖像.特別地，當(dāng)時(shí)，服從參數(shù)的指數(shù)分布.此外，-分布具有以下性質(zhì)：（1）數(shù)字特征.若，則，.（2）可加性.若且與獨(dú)立，則.(6-10)為便于今后的應(yīng)用，現(xiàn)在我們引入上側(cè)分位數(shù)的概念.所謂一個(gè)分布的-上側(cè)分位數(shù)就是指這樣一個(gè)數(shù)，它使相應(yīng)分布的隨機(jī)變量不小于該數(shù)的概率為.比如，若記-變量的-上側(cè)分位數(shù)為，則滿足（見圖6.2）.對(duì)不太大的n，如60，可用附表3查的值，而對(duì)較大的n，則可用（6-11）近似計(jì)算,(6-12)其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的-上側(cè)分位數(shù)，可通過附表2

3、查出.二、t-分布定義6.2設(shè)，，X與Y獨(dú)立，則稱(6-13)所服從的分布是自由度為n的t-分布，記作.t-分布也稱為學(xué)生分布，是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家戈塞特（Goset，1876-1937）在1908年“Student”的筆名首次發(fā)表的，這個(gè)分布在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中也占有重要的地位.根據(jù)獨(dú)立隨機(jī)變量商的密度公式(3-32)，可以證明（過程從略）：(6-13)中的概率密度函數(shù)為根據(jù)獨(dú)立隨機(jī)變量商的密度公式(3-32)，可以證明（過程從略）：(6-13)中的概率密度函數(shù)為,.(6-14)另外，t-分布具有以下性質(zhì)：（1）（近似標(biāo)

4、準(zhǔn)正態(tài)）當(dāng)時(shí)，這就是說，當(dāng)n充分大時(shí)，t-分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，但如果n較小，這兩個(gè)分布的差別還是比較大的，見圖6.3，其中粗虛線是的密度函數(shù).我們看到，所有的t-分布密度函數(shù)值在附近均未超過的值，而在兩邊的尾部均超過了的值.這就是統(tǒng)計(jì)學(xué)中所謂的“重尾”（HeavyTrails）現(xiàn)象.（2）（數(shù)字特征）若，，則順便指出，自由度為1的t-分布也稱為柯西（Cauchy）分布，它以其數(shù)學(xué)期望和方差均不存在而聞名（見例4.3）.記t-分布的-上側(cè)分位數(shù)為，附表4給出了不同n和所對(duì)應(yīng)的數(shù)值.另外，由性質(zhì)（1）知，對(duì)較

5、大的n（比如60），可用下式近似.(6-15)三、F-分布定義6.3設(shè)且X與Y獨(dú)立，則稱(6-16)所服從的分布是自由度為的F-分布，記作，這是為紀(jì)念英國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇（R.A.Fisher，1890-1962）而命名的．F-分布也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)重要分布.注意到(6-16)的商結(jié)構(gòu)，則根據(jù)隨機(jī)變量商的密度計(jì)算公式（3-34）可求得F-分布的概率密度函數(shù)為（過程從略，詳見[3,4]）,(6-17)圖6.4是四組不同參數(shù)下該密度函數(shù)的圖像.另外，由定義6.3，立即有以下結(jié)論：若，則.這個(gè)結(jié)論可用于計(jì)算分布的-

6、上側(cè)分位數(shù).具體地說，我們有.(6-18)事實(shí)上，由、以及上側(cè)分位數(shù)的定義可推出故(6-18)式成立.對(duì)較小的（如0.1、0.05、0.025等），的數(shù)值可由附表5查得.但附表5并未給出較大時(shí)的數(shù)值，此時(shí)，可用公式(6-18)求出.