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1、第二章隨機變量2.1隨機變量的概念2.2隨機變量的分布2.3二維隨機變量2.4隨機變量函數(shù)的分布關(guān)于隨機變量(及向量)的研究,是概率論的中心內(nèi)容.這是因為,對于一個隨機試驗,我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個或某些量,而這些量就是隨機變量.也可以說:隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象,而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點,一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣.變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念.同樣,概率論能從計算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個更高的理論體系,其基礎(chǔ)概念是隨機變量。使我們借助于微積分等數(shù)學(xué)工具把研究引向深入。為了全面地研究隨機試驗的結(jié)果,揭
2、示客觀存在著的統(tǒng)計規(guī)律性,我們將隨機試驗的結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來,將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化,引入隨機變量的概念。2.1隨機變量的概念由于隨機因素的作用,試驗的結(jié)果有多種可能性。如果對于試驗的每一可能結(jié)果,也就是一個樣本點ω,都對應(yīng)著一個實數(shù)ξ(ω),而ξ(ω)又是隨著試驗結(jié)果不同而變化的一個變量,則稱它為隨機變量。隨機變量一般用希臘字母ξ,η,ζ或大寫拉丁字母X,Y,Z等表示。很多隨機事件都可以采用數(shù)量的標識。比如,某一段時間內(nèi)車間正在工作的車床數(shù)目,抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時出現(xiàn)的廢品個數(shù),擲殼子出現(xiàn)的點數(shù)等等。對于那些沒有采用數(shù)量標識的事件,也可以給它們以數(shù)量標識。比如,某工人
3、一天“完成定額”記為1,“沒完成定額”記為0;生產(chǎn)的產(chǎn)品是“優(yōu)質(zhì)品”記為2,是“次品”記為1,是“廢品”記為0等等.這樣一來,對于實驗的結(jié)果就都可以給予數(shù)量的描述。定義.設(shè)Ω={ω}是隨機試驗的樣本空間,如果量X是定義在Ω上的一個單值實值函數(shù)即對于每一個ω?Ω,有一實數(shù)X=X(ω)與之對應(yīng),則稱X為隨機變量。隨機變量的特點:1X的全部可能取值是互斥且完備的2X的部分可能取值描述隨機事件隨機變量常用X、Y、Z或?、?、?等表示。請舉幾個實際中隨機變量的例子例如(1)一個射手對目標進行射擊,擊中目標記為1分,未中目標記0分。如果用ξ表示射手在一次射擊中的得分,則它是一個隨
4、機變量,可以取0和1兩個可能值。(2)某段時間內(nèi)候車室的旅客數(shù)目記為ξ,它是一個隨機變量,可以取0及一切不大于M的自然數(shù),M為候車室的最大容量。(3)單位面積上某農(nóng)作物的產(chǎn)量ξ是一個隨機變量。它可以取一個區(qū)間內(nèi)的一切實數(shù)值。即ξ∈[0,T],T為某一個常數(shù)。(4)一個沿數(shù)軸進行隨機運動的質(zhì)點,它在數(shù)軸上的位置ξ是一個隨機變量,可以取任何實數(shù),即ξ∈(-∞,+∞)顯然隨機變量是建立在隨機事件基礎(chǔ)上的一個概念。既然事件發(fā)生的可能性對應(yīng)于一定的概率,那么隨機變量也以一定的概率取各種可能值。按其取值情況可以把隨機變量分為兩類:一、離散型隨機變量只可能取有限個或無限可列個值;二
5、、非離散型隨機變量可以在整個數(shù)軸上取值,或至少有一部分值取某實數(shù)區(qū)間的全部值。隨機變量隨機變量的分類:從兩方面研究隨機變量:研究隨機變量的取值規(guī)律研究隨機變量取值的概率規(guī)律2.2隨機變量的分布ξx1x2…xK…Pkp1p2…pk…(一)離散型隨機變量的分布定義2.1如果隨機變量ξ只取有限個或可列個可能值,而且以確定的概率取這些不同的值,則稱ξ為離散型隨機變量。為直觀起見,將可能取的值及相應(yīng)概率列成概率分布表:ξx1x2……xk……Pp1p2……pk……此外,ξ的概率分布情況也可以用一系列等式表示:其中構(gòu)成一個完備事件組。此時,(2.1)式稱為隨機變量ξ的概率函數(shù)(或概
6、率分布律)。(1)pk?0,k=1,2,…;(2)一般所說的離散型隨機變量的分布就是指它的概率函數(shù)或概率分布表。2.分布律的性質(zhì)解題可分為三步進行:1.寫出概率函數(shù)(分布律)2.列出概率分布表(分布列)3.畫出概率函數(shù)圖例1設(shè)袋中有5只球,其中有2只白3只黑?,F(xiàn)從中任取3只球(不放回),求抽得的白球數(shù)X為k的概率分布列。解k可取值0,1,2∴X的概率分布列為:例2產(chǎn)品由一、二、三等品及廢品4種,其一、二、三等品律及廢品律分別為60%、10%、20%、10%,任取一個產(chǎn)品檢驗其質(zhì)量,用隨機變量ξ描述檢驗結(jié)果并畫出概率函數(shù)圖。解:令“ξ=k”與產(chǎn)品為“k等品”(k=1,2
7、,3)相對應(yīng)?!唉危?”與產(chǎn)品為“廢品”相對應(yīng)。根據(jù)題意,其概率函數(shù)為:P(ξ=0)=0.1;P(ξ=1)=0.6;P(ξ=2)=0.1;P(ξ=3)=0.2概率分布表為:概率函數(shù)圖為:例3社會上定期發(fā)行某種獎券,每券1元,中獎率為p。某人每次購買1張獎券,如果沒有中獎下次再繼續(xù)購買1張,直至中獎為止。求該人購買次數(shù)ξ的分布。解:“ξ=1”=“第一次購買的獎券中獎”ξ=i”=“購買i次獎券,前i-1次購買的獎券未中獎,第i次購買的獎券中獎”“ξ=2”=“購買兩次獎券,第一次購買的獎券未中獎,第二次購買的獎券中獎”則概率函數(shù)為:概率分布列為:例4盒內(nèi)裝