(08)二次函數(shù)動點探究題賞析

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1、于是9—r,尸2.則點P為CD的中點.2于是9—0,3人、2P圖3二次函數(shù)動點探究題賞析江蘇朱元生二次*1數(shù)是初屮數(shù)學(xué)的重耍內(nèi)容之一，而數(shù)學(xué)探究乂是數(shù)學(xué)教育改革的新亮點，因此二次*1數(shù)探究題便成了各地中考命題的熱點，命題者將二次函數(shù)問題巧妙設(shè)計成數(shù)學(xué)探究題用以考査同學(xué)們的分析能力、想象能力、探究能力和創(chuàng)新能力?，F(xiàn)僅就2008年中考題有關(guān)二次函數(shù)動點探究題精選兩例解析如下，供同學(xué)們鑒賞：例1(2008福建龍巖)如圖，等腰梯形ABCQ中，AB=4,CD=9,ZC=60°,動點P從點C出發(fā)沿CD方向向點D運動，動點Q同時以相同速度從點D出發(fā)沿D4方向向終點A運動，其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動

2、點也隨Z停止運動.(1)求4D的長；(2)設(shè)CP=x，問當(dāng)x為何值時△PDQ的而積達(dá)到最大，并求出最人值；(3)探究：在BC邊上是否存在點M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請找出點M,并求出的長；不存在，請說明理由.分析⑴過點A作AE〃BC交CD于點己,證厶AED為等邊三角形，則AD可求；(2)^APDQ的邊PD及PD邊上的高力用含兀的代數(shù)式J力表示，則APDQ的面積可表示為x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的卩極值可求得APDQ面積的最大值；(3)先假設(shè)四邊形PDQM為菱形，則PD=DQ從而求得點Q,過點Q作QM〃DC交BC于點M,則點M為所求，然后再證四邊形PDQM為菱形.,a解⑴如圖1,

3、過點A作AE//BC交CD于點E,則CE=AB=4.ZAED=ZC=60°.又IZP=ZC=60°,AA￡D是等邊三角形..IAD=DE=9-4=5.(2)如圖2,DQ=CP=x,/z為PD邊上的高,ZD=60°,/PDQ的而積S對表示為:S亠Dh」(9r)?鳥衛(wèi)(9—)一晅(廠與+應(yīng)22244216(3)如圖3,假設(shè)存在滿足條件的點M,則PD必須等于DQ.此時，點P、Q的位置如圖3所示，連QP.ZD=60°,則△PDQ為等邊三角形.過點Q作QM//DC,交BC于M,點M即為所求.連結(jié)MP,則CP=PD=DQ=CM,ZC=60°,則ACPM也是等邊三角形.AZD=Z3=60°.:.MP/

4、/QD,二四邊形PDQM是平行四邊形.乂,PD=DQ.???四邊形PDQM是菱形.91所以存在滿足條件的點M,KBM=BC-MC=5~-=-.22例2(2008海南)如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O和x軸上:W—點A,它的對稱軸x=2與兀軸交于點C,直線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上一點且與y軸、直線x=2分別交于點D、E.(1)求的值及該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)求證：①CB=CE；②D是BE的中點;(3)若P(x,y)是該拋物線上的一個動點，是否存在這樣的點P,使得PB=PE,若存在，試求出所冇符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由分析(1)由點在直線y=-2兀-1上，可求得加的值及點B

5、的處標(biāo)，進而求得拋物線的解析式；(2)通過分別求得CB和CE的長來說明CB=CE,過點B作BG//X軸，與),軸交于F、直線尸2交于G,過點E作EH//x軸，交y軸于苗/DFB竺/DHE,證得￡>是3E的中點;(3)若存在點P使得PB=PE,則點P必在線段BE的中垂線CD上,動點P又在拋物線上，通過解直線CD和拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式所聯(lián)列的方程組，貢解即為所求點的坐標(biāo).解(1)J點在直線y=-2x-l上,Azn=-2x(-2)-l=3.B(-2,3)J拋物線經(jīng)過原點O和點A,對稱軸為尸2,.:點人的坐標(biāo)為(4,0).設(shè)所求的拋物線對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y=<7(x-0)(x-4).將點心)代

6、入上式，得琢2-。)(24),,?。專???所求的拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為歹=丄x(x-4)，即y=lx2-x.44(2)①直線尸?2兀?1與y軸、直線尸2的交點坐標(biāo)分別為D(0,-l)￡(2,-5).過點8作BG//X軸，與y軸交于尸、直線尸2交于G,則點G坐標(biāo)為(2,3)BG丄直線x=2,BG=4.在MBGC中，BC=y]cG2+BG2=^32+42=5.ICE=5,:.CB=CE=5.②過點E作EH//x軸，交y軸于則點H的坐標(biāo)為H(0,?5).又點F、D的坐標(biāo)為F(0,3)>P(0,-l),???FD二DH=4,BF=EH=2,ZBFD=ZEHD=90°.:.HDFB竺/DHE(

7、SAS),:.BD=DE.即D是BE的中點.(3)由于PB=PE,???點P必在線段BE的屮垂線CD±,又點P在拋物線)丄x2-x±,-4???符合條件的點P應(yīng)是直線CD與該拋物線的交點.設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b.將點D(0,-l)C(2,0)代入，尸得fz?解得k=L,b=-i.2k+b=02直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=—x-.解方程組兀]=3+^/~51+V5???符合條件的點P的坐標(biāo)為（3+石,