（教育精品）3.2.1幾個常用函數(shù)的導數(shù)

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1、A組　考點能力演練1．(2015·太原一模)曲線y＝x2上點P處的切線的傾斜角為，則點P的坐標為(　　)A．(0,0)B．(2,4)C.D.解析：因為y＝x2，所以y′＝2x，tan＝2x，所以x＝，代入y＝x2，得y＝，因此點P的坐標為，故選D.答案：D2．(2015·寶雞質(zhì)檢)曲線y＝1－在點(－1，－1)處的切線方程為(　　)A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2解析：∵y＝1－＝，∴y′＝＝，y′

2、x＝－1＝2，∴曲線在點(－1，－1)處的切線的斜率為2，∴所求切線的方程為y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1，故選A.答案：A3.已知函數(shù)y＝f(x

3、)的圖象如圖所示，則f′(xA)與f′(xB)的大小關系是(　　)A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)kA，即f′(xA)

4、于－，∴f′(3)＝－.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由題圖可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.答案：B5．已知函數(shù)f(x)＝lnx＋tanα的導函數(shù)為f′(x)，若使得f′(x0)＝f(x0)成立的x0滿足x0<1，則α的取值范圍為(　　)A.B.C.D.解析：∵f′(x)＝，∴f′(x0)＝，由f′(x0)＝f(x0)，得＝lnx0＋tanα，∴tanα＝－lnx0.又01，即tanα>1，又α∈，∴α∈，故選B.答案：B6．(2015·長春二模)若函數(shù)f(x)＝，則f′(

5、2)＝________.解析：由f′(x)＝，得f′(2)＝.答案：7．如果f′(x)是二次函數(shù)，且f′(x)的圖象開口向上，頂點坐標為(1，)，那么曲線y＝f(x)上任意一點的切線的傾斜角α的取值范圍是________．解析：根據(jù)已知可得f′(x)≥，即曲線y＝f(x)上任意一點的切線的斜率k＝tanα≥，結(jié)合正切函數(shù)的圖象，可知α∈.答案：8．(2015·高考全國卷Ⅱ)已知曲線y＝x＋lnx在點(1,1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝________.解析：法一：∵y′＝1＋，∴y′

6、x＝1＝2，∴y＝x＋lnx在點(1,1)處的切線方程為y－1＝2(x－1

7、)，∴y＝2x－1.又切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，當a＝0時，y＝2x＋1與y＝2x－1平行，故a≠0，由得ax2＋ax＋2＝0，∵Δ＝a2－8a＝0，∴a＝8.法二：∵y′＝1＋，∴y′

8、x＝1＝2，∴y＝x＋lnx在點(1,1)處的切線方程為y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1，又切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，當a＝0時，y＝2x＋1與y＝2x－1平行，故a≠0.∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴令2ax＋a＋2＝2，得x＝－，代入y＝2x－1，得y＝－2，∴點在y＝ax2＋(a＋2)x＋1的圖象上，故－2＝a×2＋(a＋2)×＋1，∴a＝8.答案：89．

9、已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為－3，求a，b的值；(2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍．解：f　′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由題意得解得b＝0，a＝－3或1.(2)∵曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，∴關于x的方程f　′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，∴a≠－.∴a的取值范圍是∪.10．(2016·臨沂一模)已知函數(shù)f(x

10、)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C.(1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍．解：(1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3，則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)．(2)設曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知，解得－1≤k<0或k≥1，故由－1≤x2－4