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《對一道課例題的探究性設(shè)計》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、對一道課本例題的探究性設(shè)計奮斗中學(xué)董世平2007年2月對一道課本例題的探究性設(shè)計例題:(課本75頁例2)已知圓的方程是+r=求經(jīng)過圓上一點兒)的切線/的方程.一、對該題解法的探究提出問題:求解該題有哪些方法?(探究)解法一:如圖,設(shè)切線斜率為比,半徑0M的斜率為/V/丄0M?Ik=--—而人=d&兀():.k=-^兒?:I的方程為y-yQ=-—(x-x0)化簡xox+yoy=r2(*))Jo特別地當(dāng)R不存在時,/的方程為x=x(),代入(*)式也成立.I的方程為xQx+yQy=r2(解法二)設(shè)切線/上任一點N(x,y)貝IJWV-OM=O=>xox+yoy=r2對比解法一和解法二,可得向
2、量法優(yōu)于斜率法,更具有一般性.二、對該題推廣的探究提出問題:若點Mg兒)是圓O:%2+y2=r2外一點,那么直線I-心兀+y°y=廠2與圓x2+/=r2的位置關(guān)系是—,若點M(兀o,兒)是圓x2+y2=r2內(nèi)一點,那么直-xQx+yQy=r2與圓O:戲+尸=廠2的位置關(guān)系是_.能否將結(jié)論推廣到圓(x-6Z)2+(y-/?)2=r2呢?(探究)???圓x2+y2r2的圓心0(0,0)到直線兀。兀+川=廠$的距離dr2若Mg,兒)在圓外,則并+朮""濟r‘從而直線'與圓。相交?若Mg,兒)在圓內(nèi),則總+于。2???直線/與圓0和離.結(jié)論:一般地,已知圓C:(x-a)2+(y-/?)2=r2-
3、若⑷心,兒)在圓上,則切線方程為(兀。_a)(x-d)+(yo一b)(y—b)=廠2.若M(?!?兒)在圓外,則直線/:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2與圓C相交.若M(x(),兒)在圓內(nèi),則直線/:(兀0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=廠?與圓C相離.(證明略).提出問題:圓與橢圓有許多相似的性質(zhì),以上結(jié)論能否推廣到橢圓呢?22(探究1)已知橢圓C:—+—=1(a>b>0).Mg,兒)是橢圓上一er方一點.則直線/:嶼+琴=1一定與該橢圓相切嗎?crb解:當(dāng)),0工。時,22存=1求導(dǎo)數(shù)得:a_/r992x2yy八xyyM-b~p+^-=O=p+冷=0f=
4、一一r-卅b2a2b2a2y又T切線/的斜率k=y'x=x{}=-厶?—兒?:切線/的方程為:y-yQ=k(x-xQ)即r宀務(wù)2(r)22且兒)在于計上???/方程為辱+1/h2當(dāng)y()=0時,xQ=±a9直線方程為x=±a與橢圓也相切.9?故直線八辱+埠=1與橢圓^+4=1相切.a?b2a2h2(探究二)若Mg,兒)在橢圓外,貝IJ直線罟+辱=[與橢圓C相交嗎?crb~若Mg,兒)在橢圓內(nèi),貝IJ直線罟+卑=1與該橢圓C和離a"b_嗎?(可用參數(shù)法)分析:設(shè)直線/與橢圓交點N(acos&,bsin0),若N點、存在且有兩個,貝叭與橢圓C相交?若N不存在,貝I”與橢圓C相離.解:設(shè)直線/
5、與橢圓交點為N(acos&,bsin0),處(0,2兀)則代入直線/的方程為:竺警+如響二1crb"—cos^+―sin^=1abJ22工+¥?sin(0+/)=l,其中tan0=^,(pe,—)a~b~ay()22艮卩sin(&+0)=.-I29兀0.兀VF顯然當(dāng)Mg,兒)在橢圓外時,埜+竝〉1V即0l故這樣的交點W(qcos&,bsin&)不存在,所以直線/與橢圓相離.本節(jié)設(shè)計從課本例題出發(fā),通過不斷探究,改變條件,使結(jié)論更具有一般性,從而體驗探究的成果,激發(fā)對
6、數(shù)學(xué)的興趣,收到了好的效果.