1.2充分條件與必要條件(人教版)

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1、§1.2充分條件與必要條件X同學(xué)們，當(dāng)某一天你和你媽媽在街上遇到老師的時候，你向老師介紹你的媽媽說：“這是我的媽媽”。那么大家想一想這個時候你的媽媽還會不會補充說：“這是我的孩子”呢？不會了！為什么呢？因為前面你所介紹的她是你的媽媽就足以保證你是她的孩子。那么，這在數(shù)學(xué)中是一層什么樣的關(guān)系呢？今天我們就來學(xué)習(xí)這個有意義的課題——充分條件與必要條件?！緦嵗搿坷?判斷下列命題的真假。（1）若x=2，則x2-5x+6=0。（2）若ab=0,則a=0。真命題假命題【問題探究】如果命題“若p則q”為真，則記作如果命題“若p則q”為假，

2、則記作定義：如果命題“若p，則q”為真命題,即p?q,那么我們就說p是q的充分條件；q是p的必要條件．【定義得出】①充分性：條件是充分的，也就是說條件是充足的，足夠的，足以保證的。符合“若p則q”為真（p?q）的形式,即“有之必成立”。②必要性：必要就是必須的，必不可少的。符合“若非q則非p”為真（非q?非p）的形式，即“無之必不成立”。注：③p是q的充分條件與q是p的必要條件是完全等價的，它們是同一個邏輯關(guān)系“p?q”的不同表達(dá)方法。例1，下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？（1）若x=1，則x2–

3、4x+3=0；（2）若f（x）=x，則f（x）為增函數(shù)；（3）若x為無理數(shù)，則x2為無理數(shù)解：命題（1）（2）是真命題，命題（3）是假命題，所以命題（1）（2）中的p是q的充分條件.【典例演練】練習(xí)1：(1)若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行；(2)若x>5，則x>10。解：命題（1）是真命題，命題（2）是假命題所以命題（1）中的p是q的充分條件。例2下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？(1)若x=y，則x2=y2。(2)若兩個三角形全等,則這兩個三角形的面積相等.(3)若a>b，則ac>bc。解

4、：命題（1）（2）是真命題，命題（3）是假命題，所以命題（1）（2）中的q是p的必要條件。練習(xí)2下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的必要條件？(1)若a+5是無理數(shù)，則a是無理數(shù)。(2)若（x-a）（x-b）=0，則x=a。解：命題（1）（2）的逆命題都是真命題，所以命題（1）（2）中的p是q的必要條件。分析：注意這里考慮的是命題中的p是q的必要條件。所以應(yīng)該分析下列命題的逆命題的真假性。練習(xí)3，判斷下列命題的真假：（1）x=2是x2–4x+4=0的必要條件；（2）圓心到直線的距離等于半徑是這條直線為圓的切線

5、的必要條件；（3）sinA=sinB是A=B的充分條件；（4）ab≠0是a≠0的充分條件。命題（2）為真命題；命題（3）為假命題；命題（4）為真命題。命題（1）為真命題；思考分析:已知p：整數(shù)a是6的倍數(shù)，q：整數(shù)a是2和3的倍數(shù)，那么p是q的什么條件？q又是p的什么條件?pq,所以p是q的充分條件,q是p的必要條件.qp,所以q是p的充分條件,p是q的必要條件.推進(jìn)新課:稱:p是q的充分必要條件,簡稱充要條件.顯然,如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件.p與q互為充要條件(也可以說成”p與q等價”)即學(xué)即練:下列各題

6、中，哪些p是q的充要條件？(1)p:b＝0,q:函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)；(2)p:x＞0,y＞0,q:xy＞0；(3)p:a＞b,q:a+c＞b+c；(4)p:x＞5,,q:x＞10;(5)p:a＞b,q:a2＞b2.命題(1)和(3)中，p?q，故p是q的充要條件；命題(2)中，p?q,但q??p，故p不是q的充要條件；命題(4)中，p??q，但q?p，故p不是q的充要條件；命題(5)中，p??q，且q??p，故p不是q的充要條件；解:推進(jìn)新課:從邏輯推理關(guān)系看充分條件、必要條件:(1)若pq,qp,則p是q的.

7、pq充分不必要條件(2)若pq,qp,則p是q的.必要不充分條件(3)若pq,qp,則p是q的.充分必要條件(4)若pq,qp,則p是q的.既不充分也不必要條件即學(xué)即練:必要不充分條件充分不必要條件充要條件充要條件推進(jìn)新課:從集合與集合的關(guān)系看充分條件、必要條件.1)若AB且BA，則甲是乙的.充分不必要條件必要不充分條件既不充分也不必要條件一般情況下若條件甲為x∈Ａ，條件乙為x∈Ｂ4)若A=B，則甲是乙的充要條件.2)若AB且BA，則甲是乙的.3)若AB且BA，則甲是乙的.AB(1)BA(2)分析:設(shè):p:d=r,q:直線L與⊙O

8、相切.要證p是q的充要條件,只需分別證明充分性和必要性即可.例4已知:⊙O的半徑為r,圓心O到直線L的距離為d.求證:d=r是直線L與⊙O相切的充要條件.應(yīng)用示例:知能訓(xùn)練:變.若A是B的必要而不充分條件，C是B的充要條件，D是C的充分而不必要條件