§1.3.3函數(shù)最大值和最小值

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1、§1.3.3函數(shù)的最大值與最小值【課標(biāo)要求】1．借助函數(shù)圖像，直觀地理解函數(shù)的最大值和最小值概念.2．弄清函數(shù)最大值、最小值與極大值、極小值的區(qū)別與聯(lián)系，理解和熟悉函數(shù)必有最大值和最小值的充分條件.3．掌握求在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)的最大值和最小值的思想方法和步驟.【重點(diǎn)難點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值；函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系.【課前預(yù)習(xí)】1.極大值，極小值的概念：連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處從左側(cè)到右側(cè)由“上升”變?yōu)椤跋陆怠保ê瘮?shù)由單調(diào)遞增變?yōu)閱握{(diào)遞減），這時(shí)稱(chēng)在該點(diǎn)處函數(shù)取

2、得　　　　　?。O大值）連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處從左側(cè)到右側(cè)由“下降”變?yōu)椤吧仙保ê瘮?shù)由單調(diào)遞減變?yōu)閱握{(diào)遞增），這時(shí)稱(chēng)在該點(diǎn)處函數(shù)取得　　　　　?。O小值）總結(jié)：連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在處取得極大（?。┲档谋匾獥l件是左右兩側(cè)的單調(diào)性的不同．2.求函數(shù)極值的步驟：（１）求函數(shù)定義域；（２）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；（３）求出的根；（４）列表判斷．（檢驗(yàn)在方程兩側(cè)的根的符號(hào)，若根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，則函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；若根的左側(cè)附近為負(fù)，右側(cè)附近為正，則函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值．）（５）寫(xiě)出結(jié)論．3.請(qǐng)畫(huà)

3、出，的草圖.５３－２Ｏｙ-15總結(jié)：我們知道，極值反映的是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì)。但是，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)我們更關(guān)心的是是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最大值、最小值.【新授內(nèi)容】情景：?jiǎn)栴}1：由函數(shù)圖像可得，在上的最大值為；最小值為.（最大值為，最小值為）問(wèn)題２：觀察下面的函數(shù)圖像，說(shuō)出函數(shù)在上的最值．ｃｂｘｙａｄx1x2x3函數(shù)在上的最值可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，也可能是函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的極值．因此，端點(diǎn)處的函數(shù)值不一定是最值，極值也不一定是最值，我們需要通過(guò)比較端點(diǎn)

4、處的函數(shù)值和極值，其中最大的是最大值，最小的是最小值．問(wèn)題３：你能總結(jié)一下，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上求最值的步驟嗎？求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值，得出函數(shù)在上的最值問(wèn)題４：請(qǐng)按照連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上求最值的步驟寫(xiě)出完整的解題過(guò)程.求函數(shù)在上的最大值和最小值.解：令，得，列表如下：∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值當(dāng)和時(shí)，函數(shù)取得最大值.練習(xí)1.求在上的最大值與最小值.2.求在上的最小值.答案：1.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得

5、最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值．2.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．（強(qiáng)調(diào)規(guī)范解題格式．）總結(jié)：第一題中若改為僅僅求函數(shù)在上的最大值，可以根據(jù)單調(diào)性，只比較極大值與右端點(diǎn)處的函數(shù)值．因此同學(xué)們?cè)诮忸}中要根據(jù)實(shí)際情況有目的的比較，并非要將所有極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值都進(jìn)行比較．　　　第二題中由于函數(shù)在上是先減后增的，因此在這個(gè)區(qū)間上的極小值就是最小值．　　　請(qǐng)同學(xué)們思考，第二題除了用導(dǎo)數(shù)能夠求出函數(shù)在上的最小值，還有沒(méi)有別的方法？（思考后）還可以用基本不等式．由于，因此則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值．總結(jié)：我們可以發(fā)現(xiàn)利用

6、基本不等式，解題過(guò)程要比用導(dǎo)數(shù)求簡(jiǎn)便，因此在求函數(shù)的最值的過(guò)程中，要根據(jù)題目特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓纠}精講】例1．已知函數(shù)在上的最小值為，（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求在上的最大值.（本題是一個(gè)簡(jiǎn)單含參問(wèn)題，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)中不含有參變量，學(xué)生自己解答，然后對(duì)答案）（1）（2）在上的最大值為．例2.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最小值.（第一小題學(xué)生自己解答，第二小題在學(xué)生自己思考的基礎(chǔ)上，教師幫助分析.）（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）∵　　∴　　　　又　　　　　　　　∴

7、　　　　當(dāng)，即時(shí)，　　　　當(dāng)，即時(shí)，．小結(jié)：求閉區(qū)間上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ㄊ牵菏紫惹蟪龃撕瘮?shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的極值，然后計(jì)算函數(shù)在端點(diǎn)處的值，并將它們進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)即為最大值，最小的一個(gè)即為最小值.拓展：1.設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2.若不等式對(duì)于任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（問(wèn)題拓展的第一題是引入問(wèn)題的一個(gè)引申，即轉(zhuǎn)化為大于函數(shù)在區(qū)間上的最大值，而這個(gè)答案引入已經(jīng)解決了，所以很快就能得出答案，第一題為第二題做一個(gè)鋪墊，第二題留作課后思考題，為下一課時(shí)含參問(wèn)題

8、做鋪墊．）【課后作業(yè)】測(cè)試反饋10【課后反思】本教案是課后根據(jù)上課情況修改后的教案，上課過(guò)程中由于做練習(xí)題時(shí)學(xué)生黑板板演的時(shí)間比較長(zhǎng)，因此練習(xí)２的另一種解法沒(méi)有讓學(xué)生自己總結(jié)，是教師直接給出的；例題２的第二小題的整理解題過(guò)程也是教師自己板演的，這兩點(diǎn)比較遺憾．在修改教案時(shí)本來(lái)想換兩道練習(xí)題，但是考慮到題型的多樣性，最后還是沒(méi)有改．在學(xué)生做練習(xí)題的過(guò)程中反映出高一所學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的知識(shí)遺忘了很多，在今后的教學(xué)過(guò)程中在遇到相關(guān)內(nèi)容的時(shí)候要及時(shí)復(fù)習(xí)回顧．