功率譜估計(jì)Levinson 遞推法和 Burg 法

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1、數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)報(bào)告姓名：學(xué)號(hào)：日期：2015.12.141.實(shí)驗(yàn)任務(wù)信號(hào)為兩個(gè)正弦信號(hào)加高斯白噪聲，各正弦信號(hào)的信噪比均為10dB，長(zhǎng)度為，信號(hào)頻率分別為和，初始相位，取，取不同的數(shù)值：0.3，0.25。為采樣率。（1）分別用Levinson遞推法和Burg法進(jìn)行功率譜估計(jì)，并分析改變數(shù)據(jù)長(zhǎng)度、模型階數(shù)對(duì)譜估計(jì)結(jié)果的影響。（2）當(dāng)正弦信號(hào)相位、頻率、信噪比改變后，上述譜估計(jì)的結(jié)果有何變化？并作分析說明。2.原理分析2.1現(xiàn)代譜估計(jì)中的參數(shù)建模根據(jù)參數(shù)模型來描述隨機(jī)信號(hào)的方法，我們可以知道，如果能確定

2、信號(hào)的信號(hào)模型，根據(jù)信號(hào)觀測(cè)數(shù)據(jù)求出模型參數(shù)，系統(tǒng)函數(shù)用表示，模型輸入白噪聲，其方差為，信號(hào)的功率譜用下式求出：按照這種求功率譜的思路，功率譜估計(jì)可分為三個(gè)步驟：（1）選擇合適的信號(hào)模型；（2）根據(jù)有限的觀測(cè)數(shù)據(jù)，或者它的有限個(gè)自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值，估計(jì)模型的參數(shù)；（1）計(jì)算墨香的輸出功率譜。其中以（1）、（2）兩步最為關(guān)鍵。按照模型的不同，譜估計(jì)的方法有許多種，它們共同的特點(diǎn)是對(duì)信號(hào)觀測(cè)區(qū)以外的數(shù)據(jù)不假設(shè)為0，而先根據(jù)信號(hào)觀測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)模型參數(shù)，按照求模型輸出功率的方法估計(jì)信號(hào)功率譜，回避了數(shù)據(jù)觀測(cè)區(qū)以

3、外的數(shù)據(jù)假設(shè)問題。下面分析AR譜估計(jì)的兩種方法：自相關(guān)法——列文森（Levenson）遞推法和伯格（Burg）遞推法。這兩種方法均為已知信號(hào)觀測(cè)數(shù)據(jù)，估計(jì)功率譜，兩者共同特點(diǎn)是由信號(hào)觀測(cè)數(shù)據(jù)求模型系數(shù)時(shí)采用信號(hào)預(yù)測(cè)誤差最小的原則。對(duì)于長(zhǎng)記錄數(shù)據(jù)，這些方法的估計(jì)質(zhì)量是相似的，但對(duì)于短記錄數(shù)據(jù)，不同方法之間存在差別。2.2自相關(guān)法——列文森（Levenson）遞推法自相關(guān)法的出發(fā)點(diǎn)是選擇AR模型參數(shù)使預(yù)測(cè)誤差功率最小，預(yù)測(cè)誤差功率為假設(shè)信號(hào)的數(shù)據(jù)區(qū)在范圍，有個(gè)預(yù)測(cè)系數(shù)，個(gè)數(shù)據(jù)經(jīng)過沖激響應(yīng)為的濾波器，輸出預(yù)

4、測(cè)誤差的長(zhǎng)度為，因此應(yīng)用下式計(jì)算：的長(zhǎng)度長(zhǎng)于數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度，上式中數(shù)據(jù)的兩端需補(bǔ)充零點(diǎn)，相當(dāng)于對(duì)無窮長(zhǎng)的信號(hào)加窗處理，得到長(zhǎng)度為N的數(shù)據(jù)。上式對(duì)系數(shù)的實(shí)部和虛部求微分使預(yù)測(cè)誤差功率最小，得到（1）式中自相關(guān)函數(shù)采用有偏自相關(guān)估計(jì)，即對(duì)比上式，可知式（1）即為已推導(dǎo)出的Yule-Walker方程，因此自相關(guān)法也是基于解Yule-Walker方程的一種方法。但是直接解該方程，需要計(jì)算逆矩陣，不方便，因此，基于Yule-Walker方程中自相關(guān)矩陣的性質(zhì)，導(dǎo)出Levinson-Durbin遞推法，這是一種高效的

5、解方程的方法。Levinson-Durbin算法首先由一階AR模型開始：一階AR模型的Yule-Walker方程為由該方程解出然后令，以此類推，可以得到一般遞推公式如下：稱為反射系數(shù)，。，隨著階數(shù)增加，預(yù)測(cè)誤差功率將減少或不變。由k=1開始遞推，遞推到k=p，依次得到各階模型參數(shù)，AR模型的各個(gè)系數(shù)及模型輸入白噪聲方差求出后，信號(hào)功率譜用下式計(jì)算這種方法計(jì)算簡(jiǎn)單，但需要預(yù)先估計(jì)出信號(hào)自相關(guān)函數(shù)，實(shí)際中只能按照信號(hào)的有限個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)自相關(guān)函數(shù)。當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度較短時(shí)，估計(jì)誤差較大，會(huì)出現(xiàn)譜峰頻率偏移和譜

6、線分裂（在信號(hào)譜峰附近產(chǎn)生虛假譜線）；如數(shù)據(jù)很長(zhǎng)，估計(jì)自相關(guān)函數(shù)較準(zhǔn)確，但計(jì)算量大，應(yīng)適當(dāng)選擇數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。2.3伯格（Burg）遞推法Levinson-Durbin遞推法需要由觀測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，這是它的缺點(diǎn)。而伯格遞推法則由信號(hào)觀測(cè)數(shù)據(jù)直接計(jì)算AR模型參數(shù)。伯格遞推法利用Levinson-Durbin遞推公式，導(dǎo)出前向預(yù)測(cè)誤差與后向預(yù)測(cè)誤差，并按照使它們最小的原則求出，從而實(shí)現(xiàn)不用估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，直接用觀測(cè)數(shù)據(jù)得出結(jié)果。Burg遞推法思想：借助格型預(yù)測(cè)誤差濾波器，求前向、后向預(yù)測(cè)誤差平均功率，選擇

7、使其最小，求出。之后，再利用Levinson-Durbin遞推法求模型參數(shù)和輸入噪聲方差。設(shè)信號(hào)的觀測(cè)數(shù)據(jù)區(qū)間：,前向、后向預(yù)測(cè)誤差功率分別用和表示，預(yù)測(cè)誤差平均功率用表示，公式分別為前向、后向觀測(cè)誤差公式分別為上式中，信號(hào)項(xiàng)的自變量最大的是n,最小的是n-p，為了保證計(jì)算范圍不超出給定的數(shù)據(jù)范圍，在和計(jì)算公式中，選擇求和范圍為：。為求預(yù)測(cè)誤差平均功率最小時(shí)的反射系數(shù)，令,將前、后向預(yù)測(cè)誤差的遞推公式代入得Burg遞推法求AR模型參數(shù)的遞推公式總結(jié)如下：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)3.編

8、程思想（1）編寫程序產(chǎn)生題目要求的信號(hào)和噪聲（2）然后分別用兩種方法的遞推流程進(jìn)行譜估計(jì)（3）改變題目中要求的變量參數(shù)，分析結(jié)果的變化4.代碼Levensonclc;clearall;fs=100;%采樣頻率Ts=1/fs;N=2^7;%數(shù)據(jù)長(zhǎng)度p1=20;%階數(shù)f1=0.2*fs;f2=0.25*fs;%設(shè)置信號(hào)頻率pha1=0;pha2=0;%初始相位SNR=2;%設(shè)置信噪比%產(chǎn)生信號(hào)w=randn(1,N);Am=sqrt(2*10^(SNR/10