巧用旋轉(zhuǎn) 求解一類幾何最值問題.doc

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1、巧用“旋轉(zhuǎn)”求解一類幾何最值問題【模型1】如圖，正方形ABCD的邊長為√2，在對角線BD上有一點(diǎn)P，求當(dāng)PA+PC+PB的值最小時(shí)，則這個(gè)最小值為多少？【解析】如圖，將△ABP以點(diǎn)B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o，得到△EBQ，連接PQ，則△BPQ和△ABE均為等邊三角形。設(shè)y=PA+PC+PB，則y=EQ+QP+PC，故當(dāng)點(diǎn)E、Q、P、C在同一條直線上時(shí)y最小，即y的最小值為CE的長度。過點(diǎn)E作EM⊥BC，交CB延長線于點(diǎn)M，易知，∠EBM=30o，∴EM=√2/2，?BM=√3·√2/2=√6/2；∴CE2=（√2/2）2+（√6/

2、2+√2）2=4+2√3=（√3+1）2，∴CE=√3+1，即當(dāng)PA+PC+PB的和最小時(shí)，最小值為√3+1。通過求解過程我們發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P在不在BD上與結(jié)果并無關(guān)系，可以認(rèn)為點(diǎn)P為△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，當(dāng)∠ABC=90o，BA=BC=√2時(shí)，PA+PB+PC的最小值仍然是√3+1。于是我們設(shè)想當(dāng)∠ABC為其他特殊角，BA和BC不相等時(shí)，PA+PB+PC的最小值可以求得嗎？【模型2】在△ABC中，∠BAC=30o，AB=6，AC=8，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值?！窘馕觥咳鐖D，將△ABP以點(diǎn)A

3、為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o，得到△AB′P′，連接PP′。則△APP′為等邊三角形。則PA+PC+PB=B′P′+PP′+PC，故當(dāng)PA+PC+PB最小時(shí)，點(diǎn)B′、P′、P、C在同一條直線上，即PA+PC+PB的最小值為B′C的長度。易知，∠B′AC=30o+60o=90o，AB′=AB=6，∴B′C=10，即當(dāng)PA+PC+PB的和最小時(shí)，最小值為10。【模型3】在△ABC中，∠BAC=60o，AB=2√3，AC=4-√3，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值。?????????????【解析】如圖

4、，將△ABP以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o，得到△AB′P′，連接PP′。則△APP′為等邊三角形。則PA+PC+PB=B′P′+PP′+PC，故當(dāng)PA+PC+PB最小時(shí)，點(diǎn)B′、P′、P、C在同一條直線上，即PA+PB+PC的最小值為B′C的長度。過點(diǎn)B′作B′D⊥AC，交CA延長線于點(diǎn)D，易知，∠B′AD=60o，∴B′D=2√3·√3/2=3，?AD=√3；CD=4-√3+√3=4，∴B′C=5，即當(dāng)PA+PC+PB的和最小時(shí)，最小值為5?！灸Ｐ?】在△ABC中，∠BAC=90o，AB=2√3，AC=3√3-3，點(diǎn)P為△AB

5、C內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值?！咎崾尽咳缦聢D，與【模型1】情況類似，最小值為√30。【模型5】在△ABC中，∠ABC=75o，AB=2√2，BC=2，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值?！咎崾尽咳缦聢D，通過旋轉(zhuǎn)可知PA+PC+PB的最小值為CD的長度。過點(diǎn)D作DM⊥BC，交CB延長線于點(diǎn)M，易知，∠DBM=45o。最小值為2√5。