無窮小與無窮大無窮小的比較ppt課件.ppt

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1、第4節(jié)無窮小與無窮大　無窮小的比較一、無窮小二、無窮大三、無窮小的比較1定義1.12若函數(shù)　　　　　在自變量的某個變化過程中以零為極限，則稱在該變化過程中,　　為無窮小量．簡稱無窮?。?.4.1無窮小例如，當　　　時，　　，　　，　是無窮小量；當　　　時，　　　是無窮小量當　　　時，　　，　　是無窮小量．我們經(jīng)常用希臘字母　，　，　來表示無窮小量．注意：（1）無窮小是以零為極限的變量，常數(shù)中只有零是無窮?。?）無窮小總是和自變量的變化趨勢相關(guān)聯(lián)的，例如:當時,為無窮小當時,就不是無窮小定理1.2函數(shù)　　

2、以為極限的充分必要條件是：　　可以表示為　與一個無窮小量　之和．即其中　　　?。疅o窮小的代數(shù)性質(zhì)性質(zhì)1無限個無窮小之和仍是無窮小。性質(zhì)2有界變量與無窮小之積仍是無窮小。推論1常數(shù)與無窮小之積是無窮小。推論2有限個無窮小之積是無窮小。定義1.10如果(或)時，相應(yīng)的函數(shù)值的絕對值　　　無限增大，則稱　　　當(或)時為無窮大量，簡稱無窮大.2.4.2無窮大如果函數(shù)　　當　　　　　　　時為無窮大，按通常意義來說，極限是不存在的，但為了便于敘述，我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”并記為而且，把正值的無窮大叫做正無窮

3、大，把負值的無窮大叫做負無窮大，分別記為例如，（1）無窮大是個變量，不是常數(shù)（2）無窮大總和自變量的變化趨勢相關(guān)聯(lián)注意：時，,時，　　是無窮小例1指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過程中是無窮小和無窮大？解時，,時，是無窮小時，,時，是無窮大解時，,時，　　是無窮大時，,時，是無窮大解時，，所以時，是無窮小時，,所以時，是正無窮大練習一1.下列函數(shù)中哪些是無窮小？哪些是是無窮大？是無窮大是無窮小是無窮大是無窮小是無窮大是無窮小是無窮小是無窮大2.指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過程中是無窮大和無窮小時，

4、是無窮小時，是無窮大時，是無窮小時，是無窮大時，是無窮小時，是正無窮大解因為　　　　，所以　　　是有界變量；例2求　　　　?。敗　　r，　是無窮小量．根據(jù)性質(zhì)1.2，乘積　　　是無窮小量．即．練習求下列函數(shù)的極限，，．我們記　　　，　　　，　　　，它們都是時的無窮小量．但2.4.3無窮小的比較，　　，　趨于零的情況101001000100000.10.010.0010.00010.20.020.0020.00020.010.00010.0000010.00000001定義1.14設(shè)　、　是同一變化過程中

5、的兩個無窮小量，(2)若　　　　(　是不等于零的常數(shù))，則稱　與　是同階無窮小量．若　　，則稱與　是等價無窮小量．(1)若　　　　　,則稱　是比高階的無窮小量．也稱　是比低階的無窮小量．關(guān)于等價無窮小，有下面重要的性質(zhì)．定理4–4設(shè)?~??，?~??，且存在，則證明：21在求極限時，利用定理，分子分母的無窮小因子可用其等價無窮小替換，使計算簡化，這種方法稱為等價無窮小替換法．常用的無窮小替換有：22例4–32求極限例4–33求極限23