無窮小與無窮大無窮小的比較

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1、2.4無窮小與無窮大　無窮小的比較2.4.1無窮小2.4.2無窮大2.4.3無窮小的比較1定義1.12若函數(shù)　　　　　在自變量的某個(gè)變化過程中以零為極限，則稱在該變化過程中,　　為無窮小量．簡稱無窮?。?.4.1無窮小例如，當(dāng)　　　時(shí)，　　，　　，　是無窮小量；當(dāng)　　　時(shí)，　　　是無窮小量當(dāng)　　　時(shí)，　　，　　是無窮小量．我們經(jīng)常用希臘字母　，　，　來表示無窮小量．2注意：（1）無窮小是以零為極限的變量，常數(shù)中只有零是無窮?。?）無窮小總是和自變量的變化趨勢(shì)相關(guān)聯(lián)的，例如:當(dāng)時(shí),為無窮小當(dāng)時(shí),就不是無窮小3定理1.2函數(shù)

2、　　以為極限的充分必要條件是：　　可以表示為　與一個(gè)無窮小量　之和．即其中　　　?。?定義1.10如果(或)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值　　　無限增大，則稱　　　當(dāng)(或)時(shí)為無窮大量無窮大量，簡稱無窮大.2.4.2無窮大5如果函數(shù)　　當(dāng)　　　　　　　時(shí)為無窮大，按通常意義來說，極限是不存在的，但為了便于敘述，我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”并記為6而且，把限正值的無窮大叫做正無窮大，把限負(fù)值的無窮大叫做負(fù)無窮大，分別記為例如，（1）無窮大是個(gè)變量，不是常數(shù)（2）無窮大總和自變量的變化趨勢(shì)相關(guān)聯(lián)注意：7時(shí)，,時(shí)，　　是無窮小例

3、1指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過程中是無窮小和無窮大？解時(shí)，,時(shí)，是無窮小時(shí)，,時(shí)，是無窮大解時(shí)，,時(shí)，　　是無窮大8解時(shí)，，所以時(shí)，是無窮小時(shí)，,所以時(shí)，是正無窮大9練習(xí)一1.下列函數(shù)中哪些是無窮??？哪些是是無窮大？是無窮大是無窮小是無窮大是無窮小10是無窮大是無窮小是無窮小是無窮大112.指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過程中是無窮大和無窮小時(shí)，是無窮小時(shí)，是無窮大時(shí)，是無窮小時(shí)，是無窮大12時(shí)，是無窮小時(shí)，是正無窮大1314性質(zhì)1.4無窮小量乘無窮小量仍是無窮小量．無窮小量的性質(zhì)性質(zhì)1.1有限個(gè)無窮小量的代

4、數(shù)和仍然是無窮小量．性質(zhì)1.2有界變量乘無窮小量仍是無窮小量．性質(zhì)1.3常數(shù)乘無窮小量仍是無窮小量．15解因?yàn)椤　　　?，所以　　　是有界變量；?求　　　　?。?dāng)　　　時(shí)，　是無窮小量．根據(jù)性質(zhì)1.2，乘積　　　是無窮小量．即．16練習(xí)二求下列函數(shù)的極限17，，．我們記　　　，　　　，　　　，它們都是時(shí)的無窮小量．但2.4.3無窮小的比較18，　　，　趨于零的情況11010010001000010.10.010.0010.000120.20.020.0020.000210.010.00010.0000010.000000

5、0119定義1.14設(shè)　、　是同一變化過程中的兩個(gè)無窮小量，(2)若　　　　(　是不等于零的常數(shù))，則稱　與　是同階無窮小量．若　　，則稱與　是等價(jià)無窮小量．(1)若　　　　　,則稱　是比高階的無窮小量．也稱　是比低階的無窮小量．20關(guān)于等價(jià)無窮小，有下面重要的性質(zhì)．定理4–4設(shè)?~??，?~??，且存在，則證明：21在求極限時(shí)，利用定理，分子分母的無窮小因子可用其等價(jià)無窮小替換，使計(jì)算簡化，這種方法稱為等價(jià)無窮小替換法．常用的無窮小替換有：22例4–32求極限例4–33求極限23