函數(shù)極值充分條件.ppt

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1、數(shù)學(xué)分析§1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性§2柯西中值定理和不定積分§3泰勒公式§4函數(shù)的極值和最大(小)值§5函數(shù)的凸性和拐點(diǎn)§6函數(shù)圖像的討論第六章微分中值定理及其應(yīng)用第六章微分中值定理及其應(yīng)用§4函數(shù)的極值和最大(小)值教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的極值與最值．教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極值與最值的確定．教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極值充分條件．教學(xué)要求：掌握函數(shù)極值的第一、第二充分條件，學(xué)會(huì)求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值的基本方法．§4函數(shù)的極值與最大(小)值§4函數(shù)的極值與最大(小)值二、最大值與最小值極大(小)值是局部的最大(小)值,它一、極值判別

2、們將逐一研究函數(shù)的這些幾何特征.有著很明顯的幾何特征.在本節(jié)中,我函數(shù)的極值不僅在實(shí)際問題中占有重要的地位，而且也是函數(shù)性態(tài)的一個(gè)重要特征．費(fèi)馬定理告訴我們.可微函數(shù)的極值點(diǎn)一定是穩(wěn)一、極值判別我們?cè)谶@里再次強(qiáng)調(diào):費(fèi)馬定理是在函數(shù)可微的定是水平的.定點(diǎn).也就是說,在曲線上相應(yīng)的點(diǎn)處的切線一條件，費(fèi)馬定理的結(jié)論　　　　就無從說起.條件下建立的.換句話說，若沒有可微這個(gè)前提當(dāng)然，費(fèi)馬定理的逆命題亦不真.例如對(duì)于任意于是得極值的必要條件：極值點(diǎn).的可微函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零也不一定取得極值.如冪函數(shù)y=x3，在x=0可微函數(shù)的

3、極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為零.下面給出極值的充分條件.定理6.10(極值的第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形定理6.10的幾何說明根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判別函數(shù)單調(diào)性的方法，可出(i)的證明，(ii)的證明類似.以知道定理的幾何意義十分明顯.在這里僅給證明利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)得出函數(shù)的單調(diào)性方法.于是①確定函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)；②找出函數(shù)的所有駐點(diǎn)（由）以及所有不存在的點(diǎn)；③利用第一充分條件，檢查上述的點(diǎn)兩側(cè)鄰近的符號(hào)（列表完成）。第一充分條件求極值的步驟歸納如下：定理6.11(極值的第二充分條件)設(shè)f(

4、x)在點(diǎn)x0證同樣我們僅證(i).因?yàn)樗杂杀Ｌ?hào)性，由極值判別的第一充分條件得知:x0是極小值點(diǎn).注：①只有二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零的駐點(diǎn)才可以用本定理判別法；②使用本定理時(shí)，一般要求二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算相對(duì)較為容易；證明要點(diǎn)注建議同學(xué)們與教材上的證明方法相比較,這里的證明方法更簡(jiǎn)單且具有一般性.例1解由求得穩(wěn)定點(diǎn)只能用第一充分條件進(jìn)行判別。③對(duì)于二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)、不可導(dǎo)的點(diǎn)，所以(參見右圖)424例2解穩(wěn)定點(diǎn)為x=0，沒有不可導(dǎo)點(diǎn).為了更好地加以判別，我們列表如下：不存在增增減即是極小值.不存在增減極小值增請(qǐng)同學(xué)們自

5、行討論.-11-2-11(1)-1-11O1(2)即解由定理6.11,x=6是極小值點(diǎn),f(6)=108是極小值.試問這里為什么不考慮不可導(dǎo)點(diǎn)x=0?例3.例4解定理6.12(極值的第三充分條件)設(shè)f在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)存在直到對(duì)于　　　　　　　　　的情形,可借助于更高階的導(dǎo)數(shù)來判別.證由泰勒公式,有(ii)n為奇數(shù)時(shí),不是極值點(diǎn).其中它在某鄰域內(nèi)恒與同號(hào).這就說明了不是極值點(diǎn).例5所以由第二判別法,解求得極小值為因此x=1不是極值點(diǎn)(n=3是奇數(shù)).又因而對(duì)于穩(wěn)定點(diǎn)卻無法知道結(jié)果,我們嘗試用第三充分條件來進(jìn)行判

6、別.由于(n=4是偶數(shù)).注第三充分條件并不是萬能的.例如x=0是所以無法用定理6.12來判別.二、最大值與最小值由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),若f(x)在[a,b]上連續(xù),那只可能在極值點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)之中取得.一定是極大(小)值.這也就告訴我們:最大(小)值區(qū)間內(nèi)部(不是端點(diǎn))取得最大(小)值,那么這個(gè)值因?yàn)闃O大(小)值是局部的最大(小)值,故若函數(shù)在值提供了強(qiáng)有力的保證.么一定有最大、最小值,這對(duì)求函數(shù)的最大(小)下面具體介紹求函數(shù)最大(小)值的方法.(3)設(shè)(1)和(2)的點(diǎn)為由前面的分析,可知f(x)在[a

7、,b]上有:例6在區(qū)間上的最大、最小值.解所以在x=0連續(xù)，由導(dǎo)數(shù)極限定理推知故在x=0不可導(dǎo).所以這樣就得到不可導(dǎo)點(diǎn)為0,穩(wěn)定點(diǎn)為1,2.又因-0.500.511.522.500.511.522.533.544.55例7一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方程正比．已知當(dāng)速度為10（km/h）,燃料費(fèi)為每小時(shí)6元，而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用為每小時(shí)96元．問輪船的速度為多少時(shí)，每航行1km所消耗的費(fèi)用最小？解上無極小值點(diǎn).所以最小值只能在端點(diǎn)取到,故例8證明不等式：證就是要證F(x)的最小值非負(fù).于是證得(見下

8、圖)10.050.10.15例9如圖所示,剪去正方形時(shí),盒子的容積最大.去的小正方形的邊長(zhǎng)為何值制成一個(gè)無蓋的盒子,問剪四角同樣大小的小正方形后解設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)因?yàn)闉閤，則盒子的容積為僅有唯一的極值,那么這個(gè)極(大)值一定是最大例10設(shè)某商店每天向工廠按出廠價(jià)每件3元購進(jìn)小正方形后，得到最大容積為的無蓋盒子.值.所以問題的解為:在四個(gè)角上截取邊長(zhǎng)為的為400件