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《離散數(shù)學(xué) 4.2復(fù)合函數(shù)與逆函數(shù).ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、復(fù)習(xí)定義4-1.1設(shè)X，Y為任何兩個(gè)集合，如果f為X到Y(jié)的關(guān)系（f?X?Y），且對(duì)每一x?X，都有唯一的y?Y，使?f。則稱f是X到Y(jié)的函數(shù)（functions），記為f：X→Y，當(dāng)X=X1?…?Xn時(shí)，稱f為n元函數(shù)。函數(shù)也稱映射（mapping）或變換(transformation）。若?f，則x稱為自變?cè)瑈稱為在f作用下x的象，?f記作y=f(x)。由所有x?X的象構(gòu)成的象集合稱為函數(shù)的值域ranf，即ranf=f(X)={f(x)
2、x?X}?Y前域（定義域）domX，值域(象集合)ranf，陪域（共域）Y由函數(shù)的定義可知，函數(shù)是特殊的關(guān)系，特殊點(diǎn)有以
3、下兩點(diǎn)：（1）函數(shù)的定義域是X，而不是X的真子集。即任意x?X都有象y?Y存在（象存在性）。（2）一個(gè)x只能對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)y（象唯一性）。函數(shù)的定義式還可以寫成：f={
4、x?X∧y?Y∧f(x)=y}定義4-1.2設(shè)函數(shù)f:A→B，g:C→D，如果A=C，B=D，且對(duì)所有x?A和x?C，都有f(x)=g(x)，則稱函數(shù)f等于函數(shù)g,記為f=g。如果A?C，B＝D，且對(duì)每一x?A，f(x)＝g(x)。則稱函數(shù)f包含于函數(shù)g，記為f?g。因?yàn)楹瘮?shù)是序偶的集合，故兩個(gè)函數(shù)相等可用集合相等的概念予以定義。設(shè)X和Y都為有限集，分別有m個(gè)和n個(gè)不同元素，由于從X到Y(jié)任意一個(gè)函數(shù)的定義域是X，
5、在這些函數(shù)中每一個(gè)恰有m個(gè)序偶。另外任何元素x?X，可以有Y的n個(gè)元素中任何一個(gè)作為它的象，故共有nm個(gè)不同的函數(shù)。在上例中n=2,m=3,故應(yīng)有23個(gè)不同的函數(shù)。今后我們用符號(hào)YX表示從X到Y(jié)的所有函數(shù)的集合，甚至當(dāng)X和Y是無(wú)限集時(shí)，也用這個(gè)符號(hào)。Y中的每一元素都有原象幾類特殊情況：設(shè)f：X→Y，如果對(duì)任意y?Y，均有x?X，使y=f(x)，即ranf=Y，則稱f為X到Y(jié)的滿射函數(shù)(surjection)，滿射函數(shù)也稱到上映射。定義4-1.3對(duì)于f：X→Y的映射中，如果ranf=Y，即Y的每一個(gè)元素是X中一個(gè)或多個(gè)元素的象點(diǎn)，則稱這個(gè)映射為滿射（或到上映射）。Y中元素若有原象則原象唯一定
6、義4-1.4從X到Y(jié)的映射中，X中沒(méi)有兩個(gè)元素有相同的象，則稱這個(gè)映射為入射（或一對(duì)一映射）。設(shè)f：X→Y，如果對(duì)任意x1，x2?X,x1?x2蘊(yùn)涵f(x1)?f(x2)。則稱f為X到Y(jié)的單射函數(shù)(injection)，單射函數(shù)也稱一對(duì)一的函數(shù)或入射函數(shù)。Y中的每一元素都有原象且原象唯一定義4-1.5如果f既是X到Y(jié)的單射，又是X到Y(jié)的滿射，則稱f為X到Y(jié)的雙射函數(shù)（bejection）。雙射函數(shù)也稱一一對(duì)應(yīng)。151頁(yè)(6)設(shè)A和B是有窮集合,有多少不同入射函數(shù)和多少不同的雙射函數(shù)?解設(shè)
7、A
8、=m，
9、B
10、=n，要使映射f：A→B為入射，必須有
11、A
12、≤
13、B
14、，即m≤n。在B中任意選出m個(gè)元素
15、的任一全排列，就能形成的一個(gè)不同的入射，故的不同入射共有：設(shè)A={a1,a2,…,am}，B=={b1,b2,…,bm}，則對(duì)a1對(duì)應(yīng)的元素共有m種取法，a2對(duì)應(yīng)的元素共有m-1種取法，……am-1對(duì)應(yīng)的元素共有2種取法，am對(duì)應(yīng)的元素共有1種取法。故f：A→B的不同雙射共有m(m-1)(m-2)…2·1=m!（個(gè)）（個(gè)）要使映射f：A→B為雙射，必須
16、A
17、=
18、B
19、。定理4-2.1設(shè)f:X→Y是一個(gè)雙射函數(shù)，那么fc為Y到X的雙射函數(shù)，即有fc:Y→X。證明：a).先證fc是一個(gè)函數(shù)（需要證存在性和唯一性）設(shè)f={
20、x?X∧y?Y∧f(x)=y}和fc={
21、?
22、f}因f是雙射，所以f是滿射，即所有的y?Y都有x與它對(duì)應(yīng)，這正是fc的存在性。又因f是雙射，所以f是入射，即所有的y?Y都只有唯一的x與它對(duì)應(yīng)，這正是fc的唯一性。b).二證fc是一個(gè)滿射又因ranfc=domf=X,fc是滿射。c).三證fc是一個(gè)單射反設(shè)若y1≠y2,有fc(y1)=fc(y2)因?yàn)閒c(y1)=x1,fc(y2)=x2,得x1=x2，故f(x1)=f(x2)，即y1=f(x1)=f(x2)=y2。得出矛盾，假設(shè)不成立。定義4-2.1設(shè)f:X→Y是一個(gè)雙射函數(shù)，稱Y→X的雙射函數(shù)fC為f的逆函數(shù)，記為f-1。與復(fù)合關(guān)系的記法正好相反定義4-2.2設(shè)函數(shù)f:X→Y,g:
23、W→Z,若f(X)?W，則g?f={
24、x?X∧z?Z∧(?y)(y?Y∧y=f(x)∧z=g(y))},稱g在函數(shù)f的左邊可復(fù)合。定理4-2.2設(shè)兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合是一個(gè)函數(shù)。證明：設(shè)g:W→Z,f:X→Y為左復(fù)合,即f(X)?W，a).先證象存在性對(duì)于任意x?X,因?yàn)閒為函數(shù)，故必有唯一的序偶使y=f(x)成立。而f(x)?f(X)，即f(x)?W，又因?yàn)間是函數(shù)，故必有唯一的序偶使z=g(y
