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《離散數學 函數的復合與反函數.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、4.7函數的復合與反函數函數的復合函數復合的定理函數復合的性質反函數反函數存在的條件反函數的性質由于函數是一種特殊的二元關系，兩個函數的復合本質上就是兩個關系的合成，因此函數的合成方法與關系的合成方法是一致的。由圖可知f和g合成后的函數稱為復合函數，記為g°f。且g°f={<1,2>,<2,2>,<3,1>}。例如:已知f是A到B的函數，g是B到C的函數，它們所確定的對應關系如圖所示。f={<1,1>,<2,1>,<3,4>}，g={<1,2>,<2,2>,<3,2>,<4,1>}，由于函數是一種特殊的二元關系同，兩個函數的
2、復合本質上就是兩個關系的合成。例如設f是A到B的函數，g是B到C的函數，它對所確定的對應關系如圖所示：如果將函數f看作是A到B的二元關系，g看作是B到C的二元關系，合成后的關系記為R，它是A到C的二元關系，記為R=f°g，且R={(x,b),(y,b),(z,a)}.f={,,}，g={<1,b>,<2,b>,<3,b>,<4,a>}，一、復合函數的定義設f是A到B的函數，g是B到C的函數，f和g合成后的函數稱為復合函數，記為g°f。它是A到C的函數。當a∈A,b∈B,c∈C，且f(a)=b,f
3、(b)=c時，g°f(a)=c.注意：當f和g看作是二元關系時，合成后的關系記為f°g，但當f和g看作是函數時f和g合成后的函數稱為復合函數，記為g°f。定理設F,G是函數,則F°G也是函數,且滿足(1)dom(F°G)={x
4、x∈domF?F(x)∈domG} (2)?x∈dom(F°G)有F°G(x)=F(G(x))例：設集合A={x,y,z},B={a,b,c,d},C={1,2,3}f是A到B的函數，g是B到C的函數，其中f(x)=b,f(y)=c,f(z)=cg(a)=1,g(b)=2,g(c)=1,g(d)=3求
5、復合函數g°f。解：由定義可知復合函數g°f是A到C的函數。且g°f(x)=g(f(x))=g(b)=2.g°f(y)=g(f(y))=g(c)=1.g°f(z)=g(f(z))=g(c)=1.推論1設f：A→B,g：B→C,則f°g：A→C,且?x∈A都有f°g(x)=f(g(x)).推論2設F,G,H為函數,則(F°G)°H和F°(G°H)都是函數,且(F°G)°H=F°(G°H)由于函數是一種特殊的二元關系，而二元關系的合成可以看作是一種運算，且這種運算滿足結合律但不滿足交換律。于是有：推論3設F,G為函數,則F°G和
6、G°F都是函數,且F°G≠G°F函數復合運算的性質定理設f：A→B,g：B→C.? (1)如果f和g都是單射函數,則g°f：A→C也是單射的函數.(2)如果f和g都是滿射函數,則g°f：A→C也是滿射的函數.? (3)如果f和g都是雙射函數,則g°f：A→C也是雙射的函數.證(1)?c∈C,由g：B→C的滿射性,?b∈B使得g(b)=c.對這個b,由f：A→B的滿射性，?a∈A使得f(a)=b.由合成定理有g°f(a)=g(f(a))=g(b)=c從而證明了f°g：A→C是滿射的.二、函數的逆（反函數）對于二元關系R，只要交
7、換所有的有序對，就能得到逆關系；但對于函數f,交換所有的有序對得到的逆關系到卻不一定是函數，只有當f為雙射函數時其逆關系才是函數。二、反函數(函數的逆)但對于函數f,交換f的所有有序對得到的逆關系f?1是二元關系卻不一定是函數。如：F={,}，F(xiàn)?1={,}對于二元關系R，只要交換所有有序對的順序，就能得其逆關系；反函數存在的條件但對于函數f,交換所有的有序對得到的逆關系到卻不一定是函數，只有當f為雙射函數時其逆關系才是函數。反函數的定義及性質反函數的定義：對于雙射函數f：A→B,稱f
8、?1：B→A是它的反函數.定理設f：A→B是雙射的,則f?1：B→A也是雙射的.反函數的性質：定理:設f：A→B是雙射的,則 f?1°f=IA,f°f?1=IB對于雙射函數f：A→A,有 f?1°f=f°f?1=IA函數復合與反函數的計算例：設R是實數集，且f,g,h是R到R的函數其中f(x)=1+x,g(x)=1+x2,h(x)=1+x3,求f°g,g°f，(f°g)°h和f°(g°h).解：f°g(x)=f(1+x2)=2+x2g°f(x)=g(1+x)=1+(1+x)2(f°g)°h(x)=(f°g)°
9、(1+x3)=2+(1+x3)2f°(g°h)(x)=f(1+(1+x3)2)=2+(1+x3)2思考：設f：R→R,g：R→R求f?g,g?f.如果f和g存在反函數,求出它們的反函數.f：R→R不是雙射的,不存在反函數.g：R→R是雙射的,它的反函數是g?1：R→R,g?1(x)=
