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1、第十四章動(dòng)量矩定理第十四章動(dòng)量矩定理§1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理mFmvyoxzr動(dòng)量定理建立了作用力與動(dòng)量變化之間的關(guān)系，它是描述質(zhì)點(diǎn)系隨同質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)情況，而不能描述質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)情況。一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理mFmvyoxzr將質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間取一次導(dǎo)數(shù)有：投影式為:例：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在平面oxy內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為：，其中a,b,p皆為常量，求：該質(zhì)點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)o的動(dòng)量矩。解：因質(zhì)點(diǎn)在oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，故該質(zhì)點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的動(dòng)量矩就等于對(duì)oz軸的動(dòng)量矩。如果作用于質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)于某定點(diǎn)o的矩恒等于零，則
2、質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)量矩保持不變，即：§3.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒定律如果作用于質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)于某定軸的矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸的動(dòng)量矩保持不變，即：§2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理1、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)o的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn)o的動(dòng)量矩的矢量和，即：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某軸z的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一z軸的動(dòng)量矩的代數(shù)和，即：2、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的動(dòng)量矩rimimivizω質(zhì)點(diǎn)mi對(duì)z軸的動(dòng)量矩為:整個(gè)剛體對(duì)z軸的動(dòng)量矩為:即，轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為:其中，為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為一常數(shù).yoxz3、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理·······
3、·mimivi對(duì)于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，有:0即為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理ri若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，作用在質(zhì)點(diǎn)系上的合力對(duì)某固定軸的矩恒為0，則該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的動(dòng)量矩守恒。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理的投影式為：m1m2OR解：研究系統(tǒng)，分析受力：m1gm2gYOXOv1v2分析運(yùn)動(dòng)：例1：半徑為R的滑輪上繞一不可伸長(zhǎng)的繩子，繩子兩端分別掛有質(zhì)量為m1和m2的兩重物，設(shè)m1＞m2，求m1運(yùn)動(dòng)的加速度。滑輪及繩子的質(zhì)量不計(jì)。例2：由動(dòng)量矩定理可知：1、質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩，只有作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力才能使質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩發(fā)生變化
4、。2、當(dāng)外力對(duì)于某定點(diǎn)或定軸的主矩（或力矩的代數(shù)和）等于零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于該點(diǎn)（或該軸）的動(dòng)量矩保持不變，稱(chēng)動(dòng)量矩守恒。1.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義:將剛體體內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到某一確定軸的距離平方的乘積之和定義為剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.用J表示,即式中分別為第個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和到該軸的距離J=§3.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、平移軸定理說(shuō)明若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的,就可以引入積分形式表示:式中為質(zhì)量為的微元到該軸的距離M表示積分范圍遍及剛體全部質(zhì)量.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一個(gè)與其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)的而僅與其質(zhì)量分布有關(guān)的特征量M:剛體的總質(zhì)量:剛體對(duì)z軸的回轉(zhuǎn)半
5、徑或慣量半徑如剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示為它可視為將剛體的全部質(zhì)量都集中于距z軸距離為的某一點(diǎn)對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.例：一直均質(zhì)的細(xì)長(zhǎng)桿的質(zhì)量為M，長(zhǎng)為L(zhǎng)，求桿對(duì)通過(guò)其質(zhì)心，且垂直與桿的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑。xyCx(1)建立坐標(biāo)系，如圖所示，沿桿向取微段，其坐標(biāo)為（x,0,0），其質(zhì)量為解：=(2)上述質(zhì)量微元離z軸的距離為，桿對(duì)z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：(3)桿對(duì)z軸的回轉(zhuǎn)半徑為例：已知厚度相等的均質(zhì)薄圓盤(pán)的半徑為R，質(zhì)量為M，求圓盤(pán)對(duì)過(guò)其中心，且垂直于圓盤(pán)平面的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑xyCr解：1．取半徑為r,寬度為的圓環(huán)，
6、其質(zhì)量是:3．圓盤(pán)對(duì)z軸的回轉(zhuǎn)半徑為2．上述圓環(huán)的各質(zhì)點(diǎn)到z軸的距離都為r,于是圓盤(pán)對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:說(shuō)明由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量疊加定理，可以快捷的的求出由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組合而成的剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。有空心剛體=無(wú)空心整體-空心部分(轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）剛體對(duì)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體質(zhì)量與兩軸之間距離平方的乘積記為2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JZ等于對(duì)與該軸平行的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JC加上剛體的總質(zhì)量與兩軸間距離d的平方的乘積。可見(jiàn)，剛體對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小
7、。例：均質(zhì)圓輪質(zhì)量為m，半徑為R，求對(duì)質(zhì)心軸C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。CRdθrdr解：取單位厚度的圓輪研究，取一面積微元dm∵∴對(duì)輪緣上任一點(diǎn)，有：解：取一微元dx∵∴對(duì)桿端，有：例：均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，求對(duì)質(zhì)心軸C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。CdxxOxz§4.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程將質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理應(yīng)用于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情形，有：及定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩即為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程。剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體上的主動(dòng)力對(duì)該軸的矩的代數(shù)和。由上可知：1、如果作用于剛體上的主動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩的代數(shù)和不等于零，則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)
8、一定發(fā)生改變；2、如果作用于剛體上的主動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩的代數(shù)和等于零，則剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，如果主動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩的代數(shù)和為恒量，則剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。3、在一定的時(shí)間間隔內(nèi)，當(dāng)主動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩一定時(shí)，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)變化越小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越小，轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)變化大。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的難易程度，因此說(shuō)，轉(zhuǎn)動(dòng)
