理論力學(xué)第12章-動(dòng)量矩定理.ppt

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1、第十二章動(dòng)量矩定理主要內(nèi)容§12.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩§12.2動(dòng)量矩定理§12.3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程§12.4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§12.5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理§12.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程1、例如一對(duì)稱的圓輪繞不動(dòng)的質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，無論圓輪轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢如何，無論轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)有什么變化，它的動(dòng)量恒等于零，可見動(dòng)量不能表征或度量這種運(yùn)動(dòng)。2、動(dòng)量定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理討論了外力系的主矢與質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)變化的關(guān)系，但未討論外力系主矩對(duì)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)變化的影響。前一章中講的動(dòng)量定理并不能完全描述出質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)狀

2、態(tài)。因此，我們必須有新的概念來描述類似的運(yùn)動(dòng)。動(dòng)量矩定理正是描述質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某一定點(diǎn)（或定軸）或質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的理論動(dòng)量矩定理§12.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩設(shè)質(zhì)點(diǎn)某瞬時(shí)的動(dòng)量為，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)點(diǎn)的位置用矢徑表示，如圖質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)點(diǎn)的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩，即以固定點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則矢徑和質(zhì)點(diǎn)速度的解析投影式：質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩可寫為行列式形式：質(zhì)點(diǎn)對(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩是一個(gè)矢量，其方向垂直于由矢徑和速度所確定的平面，其大小等于由矢徑和動(dòng)量所構(gòu)成的平行四邊形的面積，指向

3、由右手螺旋法則確定，且質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩是一個(gè)定位矢量，應(yīng)當(dāng)畫在矩心上?！?2.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩投影到直角坐標(biāo)軸上，根據(jù)矢量對(duì)點(diǎn)的矩和對(duì)通過該點(diǎn)的軸的矩之間的關(guān)系可知，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)通過點(diǎn)的各坐標(biāo)軸的矩分別為：動(dòng)量對(duì)某一固定點(diǎn)的矩在經(jīng)過該點(diǎn)的任一軸上的投影就等于動(dòng)量對(duì)于該軸的動(dòng)量矩動(dòng)量對(duì)軸的矩是一代數(shù)量，其符號(hào)的規(guī)定與力對(duì)軸的矩的符號(hào)的規(guī)定相同，在規(guī)定了軸的正向之后，可由右手螺旋法則來確定其正方向。即動(dòng)量矩在國(guó)際單位制中的單位是或§12.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)

4、點(diǎn)系中所有各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)某固定點(diǎn)的矩的矢量和稱為該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩，即質(zhì)點(diǎn)系中所有各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)于任一軸的矩的代數(shù)和，稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的動(dòng)量矩。質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩向通過點(diǎn)的直角坐標(biāo)系的各軸投影，即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)過點(diǎn)的軸的動(dòng)量矩：且有§12.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩三、幾種剛體的動(dòng)量矩的計(jì)算1、平動(dòng)剛體對(duì)某固定點(diǎn)的動(dòng)量矩：平動(dòng)剛體的動(dòng)量矩的計(jì)算與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩的計(jì)算公式相似，即平動(dòng)剛體在計(jì)算動(dòng)量矩時(shí)，可以看成是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)集中了平動(dòng)剛體的全部質(zhì)量，位于剛體的質(zhì)心，且與剛體的質(zhì)心一起運(yùn)動(dòng)。2、繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛

5、體對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的動(dòng)量矩：令，稱為剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。于是繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的動(dòng)量矩等于剛體的角速度與剛體對(duì)該轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的乘積?！?2.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩§12.2動(dòng)量矩定理1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩為，作用力對(duì)同一點(diǎn)的矩為，如圖將動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間取一次導(dǎo)數(shù)，得根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理且則上式寫成因?yàn)橛谑堑觅|(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)對(duì)某固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于該質(zhì)點(diǎn)上的力的合力對(duì)于同一點(diǎn)的矩。將上式投影到以矩心為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)軸上，并注意到動(dòng)量及力對(duì)點(diǎn)的矩在某一軸上的投影

6、，就等于動(dòng)量及力對(duì)該軸的矩，可得：2、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)有個(gè)質(zhì)點(diǎn)，作用在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力分為內(nèi)力和外力。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理有§12.2動(dòng)量矩定理這樣的方程共有個(gè)，相加后得由于內(nèi)力總是大小相等、方向相反成對(duì)出現(xiàn)，因此上式右端的第一項(xiàng)上式左端為于是得§12.2動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于某固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和。應(yīng)用時(shí)，取投影式必須指出，上述動(dòng)量矩定理的表達(dá)形式只適用于對(duì)固定點(diǎn)或固定軸。對(duì)于一般的動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)軸，其動(dòng)量矩定理具有較復(fù)雜的表達(dá)式

7、。3、動(dòng)量矩守恒定律（1）若作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)于某固定點(diǎn)的矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)量矩保持不變，即（2）若作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)于某固定軸的矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸的動(dòng)量矩保持不變，即§12.2動(dòng)量矩定理?動(dòng)畫§12.2動(dòng)量矩定理?動(dòng)畫§12.2動(dòng)量矩定理?動(dòng)畫§12.2動(dòng)量矩定理?動(dòng)畫§12.2動(dòng)量矩定理?動(dòng)畫§12.2動(dòng)量矩定理?動(dòng)畫§12.2動(dòng)量矩定理?動(dòng)畫§12.2動(dòng)量矩定理例題12-1M高爐運(yùn)送礦石用的卷?yè)P(yáng)機(jī)如圖所示。已知鼓輪的半徑為R，質(zhì)量為m1，輪繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。小車和礦石總質(zhì)量為m2。作用在鼓

8、輪上的力偶矩為M，鼓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)貫量為J，軌道的傾角為θ。設(shè)繩的質(zhì)量和各處摩擦均忽略不計(jì)，求小車的加速度a?！?2.2動(dòng)量矩定理M例題12-1作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力除力偶、重力和外，尚有軸承的反力和軌道對(duì)小車的約束力。其中對(duì)軸力矩為零。將沿軌道及其垂直方向分解為和，與相抵消。解：取小車與鼓輪組成質(zhì)點(diǎn)系，視小車為質(zhì)點(diǎn)。以順時(shí)針為正，此質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的動(dòng)量矩為而，則系統(tǒng)外力對(duì)軸的矩為§12.2動(dòng)量矩定理由質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O軸的動(dòng)量矩定理，有因，，于是解得若，則,小車的加速