師父中師父講堂第四講.doc

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1、師父中的師父講堂第四講認(rèn)識(shí)證明……頭腦的五種功能之一◎許志農(nóng)／國(guó)立臺(tái)灣師範(fàn)大學(xué)數(shù)學(xué)系正確的知識(shí)、錯(cuò)誤的知識(shí)、想像、睡覺(jué)和記憶是頭腦的五種能力。頭腦本身既非敵人，亦非朋友，你可以使它成為朋友，你也可以使它成為敵人，它依你而定，依那個(gè)隱藏在頭腦背後的你而定。記憶就是過(guò)去經(jīng)驗(yàn)的喚起，對(duì)過(guò)去的事情，採(cǎi)取真實(shí)而正確的記憶是避免重複犯錯(cuò)的不二法門。唯有讓頭腦處在正確知識(shí)裡，潛意識(shí)的直覺(jué)（第六感）才會(huì)是正確的；意識(shí)的推論才會(huì)是合乎邏輯的。得到這兩個(gè)福報(bào)就好像隨身攜帶了火把，無(wú)論思緒移動(dòng)到哪裡，那個(gè)黑暗就立刻消失，所到之處都是明亮的，所有的事情都不證自明了。9問(wèn)題　如

2、下圖所示，滑輪拖著輪船，讓船靠近岸邊。問(wèn)：滑輪捲動(dòng)的繩子長(zhǎng)度與輪船前進(jìn)的距離何者較大？請(qǐng)證明之。當(dāng)人的頭腦處在正確知識(shí)中心時(shí)，「直覺(jué)、直接的認(rèn)知」和「合乎邏輯的推論」就是辯證時(shí)，獲得知識(shí)的兩大來(lái)源。這兩個(gè)來(lái)源（直覺(jué)、直接的認(rèn)知與合乎邏輯的推論）構(gòu)成了數(shù)學(xué)證明的詩(shī)篇。想要讓直接的感應(yīng)產(chǎn)生，合乎邏輯的推論出現(xiàn)，必須讓頭腦變成「證明」的朋友，也就是讓頭腦處?kù)墩_知識(shí)裡。唯有讓頭腦處在正確知識(shí)中，直覺(jué)、直接的認(rèn)知才會(huì)像井水般源源不斷的流出，合乎邏輯的推論才會(huì)像泉水般一波接著一波的湧現(xiàn)。讓頭腦儲(chǔ)存或擁有越多數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶，使頭腦處在正確知識(shí)裡：充足的數(shù)學(xué)知識(shí)，直

3、覺(jué)、直接的認(rèn)知加上合乎邏輯的推論讓我們對(duì)數(shù)學(xué)證明充滿信心?，F(xiàn)在就讓我們的頭腦處在正確的知識(shí)中心裡！三角形的不等式當(dāng)你欲從地走到地時(shí)，心裡清楚選擇兩地間的直線來(lái)走最短，而不會(huì)選擇弧線或彎曲的路徑前往。這是因?yàn)槿切蔚牟坏仁竭@粒種子，不僅早已播種在你的腦海裡，還長(zhǎng)出了芽，甚至開(kāi)了花、結(jié)了果。但是偶而還是會(huì)忘記它的存在，特別是在沒(méi)有知覺(jué)的情境之下。直角座標(biāo)平面的不等式：在〈圖一〉的三角形中，邊長(zhǎng),,滿足「兩邊之和大於第三邊」與「兩邊的差小於第三邊」的三角形不等式，也就是與9地球表面的不等式：在〈圖二〉中，設(shè)是地球上的兩個(gè)點(diǎn)，顯然圓弧1的半徑＞圓弧2的半徑＞圓

4、弧3的半徑＞圓弧4的半徑，但是圓弧1的長(zhǎng)度＜圓弧2的長(zhǎng)度＜圓弧3的長(zhǎng)度＜圓弧4的長(zhǎng)度。也就是說(shuō)，走半徑最大的圓弧，經(jīng)過(guò)的路徑最短（這是因?yàn)榘霃皆酱?，其圓弧越接近直線）。因此，飛機(jī)從A飛到B時(shí)，經(jīng)常選擇地球的大圓來(lái)飛行，這樣最節(jié)省時(shí)間?！磮D一〉〈圖二〉接下來(lái)就讓我們利用三角形的不等式來(lái)解決本節(jié)的問(wèn)題：如下圖所示滑輪捲動(dòng)的繩子長(zhǎng)度為而輪船前進(jìn)的距離為.由三角形的三角形不等式知道即滑輪捲動(dòng)的繩子長(zhǎng)度＜輪船前進(jìn)的距離。平面幾何證明……最好的邏輯推理訓(xùn)練讓頭腦的推論合乎邏輯最簡(jiǎn)單的訓(xùn)練或檢驗(yàn)方式就是從事平面幾何證明：例題1如下圖所示：設(shè)與是三角形的外角分角線。證

5、明。〔證〕因?yàn)?,所以,因此三角形是等腰三角形，即。因?yàn)?,所以因此三角形是等腰三角形，即。綜合得到。練習(xí)1如下圖所示：9圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線與互相垂直，且相交於點(diǎn)。若在上，通過(guò)點(diǎn)，且與垂直，則證明。矩形分割例題２如下圖所示：利用鉛直線與水平線可將矩形分割成面積依序?yàn)榈乃膫€(gè)小矩形。該如何畫(huà)鉛直線與水平線，才能使其滿足下列條件。在何條件下，會(huì)滿足在何條件下，會(huì)滿足在何條件下，會(huì)滿足在何條件下，會(huì)滿足〔證〕令大矩形的長(zhǎng)被鉛直線分成長(zhǎng)度為與的兩個(gè)線段；寬被水平線分成長(zhǎng)度為與的兩個(gè)線段。此時(shí)由題意知故當(dāng)鉛直線或水平線平分大矩形面積時(shí)，等式成立。由題意知故當(dāng)鉛直

6、線平分大矩形面積時(shí)，等式成立。由題意知故當(dāng)鉛直線平分大矩形面積時(shí)，等式成立。由題意知故無(wú)論鉛直線或水平線為何，等式恆成立。奧修的念珠例題３奧修的念珠是由七顆精選的寶石串起來(lái)的，其中標(biāo)示2的那顆寶石的重量為2克拉。9為了某種目的，這串念珠每顆寶石的重量必須是其左、右兩顆相鄰寶石重量的幾何平均數(shù)。試求這串念珠其餘六顆寶石的重量?！沧C〕令七顆寶石重量最輕者為克拉，而在最輕者左、右兩顆相鄰寶石重量分別為與克拉。由此假設(shè)知道如果，則，即，與矛盾。如果，則，即，與矛盾。因此，即最輕者左、右兩顆相鄰寶石重量與最輕者同重。同法可得，所有的寶石都是相同的重量。故每顆寶石

7、的重量都是克拉。練習(xí)２若奧修的念珠是符合「每顆寶石的重量必須是其左、右兩顆相鄰寶石重量的算術(shù)平均數(shù)」這個(gè)條件，則求這串念珠其餘六顆寶石的重量。有了這兩道問(wèn)題的證明經(jīng)驗(yàn)之後，接下來(lái)請(qǐng)你解決臺(tái)大推甄的一道問(wèn)題：練習(xí)３在無(wú)窮的平面網(wǎng)格上（由無(wú)窮多水平線與垂直線所形成），每一格之內(nèi)放置一個(gè)自然數(shù)（可重複），使其每一格的數(shù)都等於其相鄰上下左右四格的平均值，即張三說(shuō)：要完成這樣的配置，必須每一格放置相同的正整數(shù)。請(qǐng)問(wèn)：張三的說(shuō)法正確嗎？請(qǐng)說(shuō)出你的論證。數(shù)的觀察你知道恆等式有多美嗎？當(dāng)你可以用它來(lái)解決下一道例題的時(shí)候，你就可以領(lǐng)悟它的漂亮！例題４如下表所列：正整數(shù)都

8、可以寫成從等依序開(kāi)始的若干個(gè)平方和（可以放正負(fù)符號(hào)修正）。是否每個(gè)正整數(shù)都可以這樣做?？梢缘脑?/p>