_函數(shù)的凸性及應(yīng)用開(kāi)題報(bào)告

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1、函數(shù)的凸性及應(yīng)用開(kāi)題報(bào)告開(kāi)題報(bào)告函數(shù)的凸性及應(yīng)用一、選題的背景、意義(所選課題的歷史背景、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì))凸函數(shù)具有一些非常優(yōu)良的性質(zhì)[1],有著較好的幾何和代數(shù)性質(zhì),在數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。1905年丹麥數(shù)學(xué)家Jensen首次給出了凸函數(shù)的定義,開(kāi)創(chuàng)了凸函數(shù)研究的先河,經(jīng)過(guò)近百年努力,凸函數(shù)的研究在各個(gè)方面正得到長(zhǎng)足的發(fā)展,其中,凸函數(shù)的判據(jù)研究已接近完善,在現(xiàn)代學(xué)習(xí)和生活中的重要性已經(jīng)不斷的凸顯出來(lái)。凸分析是近年來(lái)凹凸函數(shù)發(fā)展起來(lái)的一門應(yīng)用十分廣泛的數(shù)學(xué)支,尤其是在最優(yōu)化理論方面的應(yīng)用更為突出,人們對(duì)凸分析的自

2、身理論發(fā)展也進(jìn)行了廣泛的深入研究,使得凸函數(shù)的性質(zhì)也得到了較好的發(fā)展。在凸規(guī)劃理論、尤其是非線性最優(yōu)化中,函數(shù)的凸性分析是最基本的,又是最重要的,近年來(lái),研究函數(shù)各種凸性的文獻(xiàn)越來(lái)越多。凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)。對(duì)函數(shù)凹凸性的研究,在數(shù)學(xué)的多個(gè)分支都有用處。特別是在函數(shù)圖形的描繪和不等式的推導(dǎo)方面,凸函數(shù)都有著十分重要的作用。同樣凸函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要概念,它涉及了許多數(shù)學(xué)命題的討論證明和應(yīng)用,而且在現(xiàn)代優(yōu)化學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、管理學(xué)、和工程測(cè)繪學(xué)等多個(gè)學(xué)科有著重要的意義。函數(shù)凸性的應(yīng)用顯著地體現(xiàn)在求最值、不等式的證明上。不等式的證明方法

3、很多,技巧性強(qiáng),函數(shù)凸性是函數(shù)在區(qū)間上變化的整體形態(tài),是研究不等式的重要方法之一,巧妙的構(gòu)造凸函數(shù),可以簡(jiǎn)單輕快得證明不等式。凸函數(shù)在數(shù)學(xué)規(guī)劃中有著廣泛的應(yīng)用背景,一些常見(jiàn)的不等式都可以從函數(shù)的凸性中導(dǎo)出。在不等式的研究中,凸函數(shù)所發(fā)揮的作用是無(wú)可替代的。與凸函數(shù)有關(guān)的不等式是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論的重要工具,尤其在不等式的證明中發(fā)揮的作用是無(wú)可替代的,其中Jensen不等式與Hadamard不等式更是起到了重要的作用。Jensen不等式通常用來(lái)證明有限不等式,它是將無(wú)窮項(xiàng)求和與積分聯(lián)系起來(lái)的重要橋梁。利用Hadamard不等式可以對(duì)兩個(gè)正數(shù)的

4、幾何平均數(shù)與算數(shù)平均數(shù)加細(xì)。凸函數(shù)是一類非常重要的函數(shù),應(yīng)用函數(shù)的凸性,不僅可以科學(xué)、準(zhǔn)確的描述函數(shù)的圖像,而且也有證明不等式的凸函數(shù)方法,同時(shí),凸函數(shù)也是優(yōu)化問(wèn)題中重要的研究對(duì)象,它研究的內(nèi)容非常豐富,研究的結(jié)果也在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問(wèn)題本文首先對(duì)凸函數(shù)定義進(jìn)行介紹,凸函數(shù)的等價(jià)性質(zhì)進(jìn)行了概述;接下來(lái)介紹了凸函數(shù)的基本性質(zhì),然后由此延伸,進(jìn)一步提出凸函數(shù)的應(yīng)用,主要集中在下面幾方面的應(yīng)用:凸函數(shù)在Hadamard不等式證明中的應(yīng)用,凸函數(shù)在證明Jensen不等式時(shí)的應(yīng)用,凸函數(shù)在分析不等式中的

5、應(yīng)用等方面進(jìn)行了討論。2.1凸函數(shù)的定義2.1.1凸函數(shù)一些基本定義通過(guò)數(shù)學(xué)分析[2]的學(xué)習(xí),對(duì)于函數(shù)和的圖像,我們很容易得出它們之間的不同點(diǎn):曲線上任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線的下方;而曲線則相反,在任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線的上方。通過(guò)這兩個(gè)函數(shù),我們把前一種特性的曲線稱為凸的,后一種為凹的。對(duì)于凸的我們稱其函數(shù)為凸函數(shù)。葛麗萍[3]給出了凸函數(shù)的基本定義[3]:設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù),若對(duì)上的任意兩點(diǎn),和任意實(shí)數(shù)總有,則稱為上的凸函數(shù)。2.1.2嚴(yán)格凸函數(shù)的定義江芹,陳文略[4]給出了嚴(yán)格凸函數(shù)的定義并且討論了區(qū)間上嚴(yán)格凸

6、函數(shù)的判定方法。定義:凸函數(shù)的定義為函數(shù)滿足以下不等式,為區(qū)間上的函數(shù),,為上的任意兩點(diǎn)和任意實(shí)數(shù)。當(dāng)上面的不等式變?yōu)闀r(shí),其余條件不變,該函數(shù)稱為嚴(yán)格凸函數(shù)。2.1.3凸函數(shù)的等價(jià)描述林銀河[5]詳細(xì)論述了凸函數(shù)的等價(jià)描述,由此得出:若在上有定義,則以下3個(gè)命題等價(jià):在上為凸函數(shù);,,有;,且不全為零,有。其中命題就是著名的Jensen不等式。在Jensen不等式中令就得到如下定義:設(shè)在區(qū)間上有定義,稱為上的凸函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)有。葛麗萍[3]介紹了函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)的等價(jià)條件:若為區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù),可得出以下等價(jià)條件。為上的凸;為上的增函

7、數(shù);對(duì)上的任意兩點(diǎn),,有。2.2凸函數(shù)的一些性質(zhì)2.2.1凸函數(shù)的連續(xù)性凸函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一類重要函數(shù),而函數(shù)的連續(xù)性又是函數(shù)性態(tài)的一項(xiàng)基本而又重要的特征。由于Jensen定義中并沒(méi)有對(duì)函數(shù)作出連續(xù)性及可導(dǎo)性假設(shè),Jensen意義下凸函數(shù)并不一定是連續(xù)函數(shù),而連續(xù)函數(shù)也不一定是凸函數(shù),選取實(shí)際問(wèn)題中大量存在的區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)作為討論對(duì)象,從凸函數(shù)的定義出發(fā),研究連續(xù)函數(shù)與凸函數(shù)的關(guān)系。那么我們就會(huì)提出這樣的問(wèn)題:當(dāng)連續(xù)函數(shù)滿足何種條件時(shí),是區(qū)間上的凸函數(shù);當(dāng)凸函數(shù)滿足何種條件時(shí),是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);連續(xù)凸函數(shù)在區(qū)間上具有何種性質(zhì)?宋

8、方[6]提出,如果連續(xù)函數(shù)為凸函數(shù),必定滿足以下定義:對(duì)任意的及,恒有:。2.2.2凸函數(shù)的微積分性質(zhì)劉鴻基,張志宏[8]指出凸函數(shù)是一類重要的函數(shù),有著較好的分析性質(zhì),而關(guān)于凸函數(shù),一般教材大都從幾何意義方面引出定義,