運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題.docx

《運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、專題二十二運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題【典題導(dǎo)引】例1.（數(shù)形結(jié)合解決有明顯幾何意義的式子(概念)問題）（1）函數(shù)的值域?yàn)椋?）若實(shí)數(shù)、滿足條件，則的取值范圍是_________.（3）的最大值為．（4）若實(shí)數(shù)、、、滿足，則的最小值為．解：(1)令，則，設(shè)點(diǎn)，，則，從而問題化歸為半圓上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率的取值范圍．結(jié)合圖形易求得．(2)，，　　令，則為雙曲線上動(dòng)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合圖形易求得，，其值域?yàn)椋?3)令，，則，從而問題化歸為求圓上點(diǎn)與圓上點(diǎn)距離平方的最大值．結(jié)合圖形易求得，?。?4)令，，則，且點(diǎn)，分別在函數(shù)，的圖象上．結(jié)合圖形易知為

2、函數(shù)圖象與直線平行的切線的切點(diǎn)與直線的距離，可求得切點(diǎn)，，．例2.（數(shù)形結(jié)合解決隱含軌跡問題）（1）已知，則與的夾角的取值范圍為．（2）已知是平面上三個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，則的取值范圍是．（3）設(shè)是等腰腰的中點(diǎn)，若，則面積的最大值為．解：(1)，，點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，結(jié)合圖形易求得與的夾角的取值范圍為．(2)題設(shè)有點(diǎn)、是橢圓上的點(diǎn)，為其左焦點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線，結(jié)合圖形知與同向，由得．由橢圓的焦半徑性質(zhì)得．(3)不妨設(shè)，則，．，以中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，易求得點(diǎn)的軌跡方程為，．例3.已知函數(shù)，.（1）若關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的

3、取值范圍；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.解：（1）方程，即，變形得，顯然，已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程，有且僅有一個(gè)等于的解或無解，結(jié)合圖形得；（2）因?yàn)?①當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知在上遞減，在上遞增，且，經(jīng)比較，此時(shí)在上的最大值為.②當(dāng)，即時(shí)，結(jié)合圖形可知在，上遞減，在，上遞增，且，，經(jīng)比較，知此時(shí)在上的最大值為.③當(dāng)，即時(shí)，結(jié)合圖形可知在，上遞減，在，上遞增，且，，經(jīng)比較，知此時(shí)在上的最大值為.④當(dāng)，即時(shí)，結(jié)合圖形可知在，上遞減，在，上遞增，且,，經(jīng)比較，知此時(shí)在上的最大值為.當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知在上遞增，在上遞減，故此時(shí)在上的最大值為.綜

4、上，當(dāng)時(shí)，在上的最大值為；當(dāng)時(shí)，在上的最大值為；當(dāng)時(shí)，在上的最大值為.例4.（2010江蘇改編）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù)，其中對(duì)任意的都有，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．已知函數(shù)具有性質(zhì)，給定，，設(shè)m為實(shí)數(shù)，，，且，，若，求的取值范圍．解：由題意，得，又對(duì)任意的都有，所以對(duì)任意的都有，在上單調(diào)遞增．又，．當(dāng)，時(shí)，，且，，，或.若，則，,不合題意.，即解得，；當(dāng)時(shí)，，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，且，，同理有，即解得，，綜合以上討論得：所求的取值范圍是．【歸類總結(jié)】1．“數(shù)”與“形”之間是有緊密聯(lián)系的，既可以由“數(shù)”來研究“形”，也可以由“形”

5、來研究“數(shù)”，這種“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想即為數(shù)形結(jié)合思想．2．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用可以分為兩種情況：一是借助于“數(shù)”的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明“形”的屬性；二是借助于“形”的生動(dòng)性和直觀性來闡明“數(shù)”之間的關(guān)系，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合．3．?dāng)?shù)形結(jié)合的途徑：（1）通過坐標(biāo)系形題數(shù)解借助于建立直角坐標(biāo)系、復(fù)平面可以將圖形問題代數(shù)化。這一方法在解析幾何中體現(xiàn)的相當(dāng)充分（在高考中主要也是以解析幾何作為知識(shí)載體來考察的）；值得強(qiáng)調(diào)的是，形題數(shù)解時(shí)，通過輔助角引入三角函數(shù)也是常常運(yùn)用的技巧（這是因?yàn)槿枪降氖褂茫梢源蟠罂s短代數(shù)推理）．實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)

6、合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義，如等式：．常見方法有：①解析法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（直角坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系），引進(jìn)坐標(biāo)將幾何圖形變換為坐標(biāo)間的代數(shù)關(guān)系．②三角法：將幾何問題與三角形溝通，運(yùn)用三角代數(shù)知識(shí)獲得探求結(jié)合的途徑．③向量法：將幾何圖形向量化，運(yùn)用向量運(yùn)算解決幾何中的平角、垂直、夾角、距離等問題．把抽象的幾何推理化為代數(shù)運(yùn)算。特別是空間向量法使解決立體幾何中平行、垂直、夾角、距

7、離等問題變得有章可循．（2）通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造數(shù)題形解許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都有著對(duì)應(yīng)的幾何意義，據(jù)此，可以將數(shù)與形進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化．例如，將與距離互化，將與面積互化，將與余弦定理溝通，將且中的、、與三角形的三邊溝通，將有序?qū)崝?shù)對(duì)（或復(fù)數(shù)）和點(diǎn)溝通，將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應(yīng)的圓錐曲線對(duì)應(yīng)等等．這種代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個(gè)圖形（平面的或立體的）．另外，函數(shù)的圖象也是實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之一，正是基于此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常借助于相伴而充分地發(fā)揮作用．常見的轉(zhuǎn)換途徑為：①方程或不等式問題?？梢赞D(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)位置關(guān)系的問題，并借助

8、函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)的問題．②利用平面向量的數(shù)量關(guān)系及模的性質(zhì)