淺談數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運(yùn)用

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1、淺談數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運(yùn)用王克卓數(shù)學(xué)是研究客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，且數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩種表達(dá)形式，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使得復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，使抽象思維和形象思維相結(jié)合，通過圖形的描述、代數(shù)的論證來研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。顯然數(shù)形結(jié)合，不是兩者簡單的堆砌，而是有機(jī)的結(jié)合，“數(shù)”具有精確性定特征，它可以闡明“形”的某些屬性，并且可以通過運(yùn)算法則、公式進(jìn)行運(yùn)算，比較具體（雖然有時(shí)卻比較繁復(fù)），

2、“形”具有幾何的直觀性，它也可以表示數(shù)之間的某些關(guān)系，“形”可以通過邏輯推理得到一些結(jié)果，其推理過程較簡捷（但可能有時(shí)比較抽象）。但兩者結(jié)合，各取所長，則往往威力巨大，因此華羅庚教授說：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非。”數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)新課程所滲透的重要思想方法之一,高中數(shù)學(xué)新教材之中的每一章節(jié)內(nèi)容都有以數(shù)形結(jié)合的問題形式出現(xiàn)，能很好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。新教材中滲透這一方法，對發(fā)展學(xué)生的解題思路、尋找最佳解題方法明顯帶有指導(dǎo)性作用，通過對問題進(jìn)行正確的分析、比較、合理聯(lián)想，訓(xùn)練

3、學(xué)生思維、拓寬視野，逐步形成正確的解題觀；還可在學(xué)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生對抽象概念給予形象化的理解和記憶，提高數(shù)學(xué)認(rèn)知能力，并提升對現(xiàn)實(shí)世界的認(rèn)識能力，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不斷完善自己。下面舉例說明數(shù)形結(jié)合思想在各模塊中的應(yīng)用。一、利用數(shù)形結(jié)合解決集合問題對于集合中各種概念、運(yùn)算的理解，直接從自然語言和符號語言上理解，往往難以搞清其本質(zhì)；若借助簡單的韋恩圖表示兩集合間的關(guān)系，可使問題變得直觀、具體，易于認(rèn)清集合的特征，便于準(zhǔn)確、快速地解決問題。這就是8數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，顯然準(zhǔn)確地將集合問題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系是關(guān)鍵。解題時(shí)常借助韋恩圖或用數(shù)

4、軸、簡單函數(shù)的圖像等形來集合問題，往往可以把問題中的條件直觀化、形象化，從而使原題靈活、簡捷、準(zhǔn)確地獲解。例1　若為全集，，且，則下列結(jié)論中正確的是。①；②；③；④（提示：由韋恩圖可以很容易知道答案為③。）二、函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)知識的主要內(nèi)容，它的地位和作用非常重要，數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)問題時(shí)尤為重要。函數(shù)的圖像是表示函數(shù)關(guān)系的方式之一，它是從“形”的方面來刻畫函數(shù)的變化規(guī)律，形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得答案的重要工具。利用一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函

5、數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本函數(shù)的圖像來解決代數(shù)問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化聯(lián)想能力、觀察能力，如利用某些函數(shù)表達(dá)式所具有的特征，與幾何中的距離、直線的斜率、線段的長度（兩點(diǎn)間的距離）等聯(lián)系在一起，構(gòu)造幾何模型解決問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性并提高創(chuàng)造性。例2　設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍是。分析:本題主要考查函數(shù)的基本知識，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式以及借助數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力。8圖1解：如圖1，在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖像和直線，它們相交于和兩點(diǎn)。由，得或。例3　方程解的個(gè)數(shù)為。分析：畫出函數(shù)與的圖像（如圖2）。注意兩個(gè)圖

6、像的相對位置關(guān)系。圖2（答案：3個(gè)。）顯然，通過上兩題看出，函數(shù)的解析式和圖像的實(shí)質(zhì)是相同的，在解題時(shí)經(jīng)常要相互轉(zhuǎn)化，尤其是解決較為繁瑣的（如方程解的個(gè)數(shù)、分類討論、求參數(shù)的范圍等）問題時(shí)，更要充分發(fā)揮圖像的直觀作用，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)換。但轉(zhuǎn)換時(shí)，要注意方式、方法，如方程f（x）=g（x）的解的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題；不等式f（x）＞g（x）的解集可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）的圖像位于函數(shù)y=g（x）的圖像上方的那部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合。三、利用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)列問題數(shù)

7、列可看成以為自變量的函數(shù)，等差數(shù)列可看成自然數(shù)的“一次函數(shù)”，前項(xiàng)和可看成的無常數(shù)項(xiàng)的“二次函數(shù)”，等比數(shù)列可看成自然數(shù)的“指數(shù)函數(shù)”，在解決數(shù)列問題時(shí)可借助相應(yīng)的函數(shù)圖像來解決。例4　若數(shù)列為等差數(shù)列，，求。如圖3，8圖3分析：不妨設(shè)，由于等差數(shù)列中，關(guān)于的圖像是一條直線上均勻排開的一群孤立的點(diǎn)，故三點(diǎn)共線，設(shè)，由已知，得三點(diǎn)共線。則，即，得，即。四、不等式與解析幾何中的數(shù)形結(jié)合在解析幾何中，借助直線、圓及圓錐曲線在直角坐標(biāo)系中圖像的特點(diǎn)，可從圖形上尋求解題思路，啟發(fā)思維，難題巧解。例5　曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值

8、范圍是。分析：曲線的圖形是以為圓心，以1為半徑的圓在軸上方（包括軸）的部分。直線是過定點(diǎn)、斜率為的直線。在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出它們的圖形，觀察圖4，符合要求的直線介于直線之間（包括，不包括），其中與半圓相切，過原點(diǎn)。通過計(jì)算容易求得的斜率為1，的斜率為。所以。8圖4例6　如果實(shí)數(shù)滿足