高二數(shù)學(xué)最值和最小值.doc

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1、最大值和最小值一、填空題1．已知函數(shù)f(x)＝x3－12x＋8在區(qū)間[－3,3]上的最大值與最小值分別為M、m，則M－m＝________.2．函數(shù)f(x)＝sin2x在[－，0]上的最大值是________，最小值是________．3．函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1在閉區(qū)間[－3,0]上的最大值是________，最小值是________．4．設(shè)y＝

2、x

3、3，那么y在區(qū)間[－3，－1]上的最小值是__________．5．函數(shù)f(x)＝的值域?yàn)開(kāi)_______．6．已知y＝f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)＝lnx－ax(a>)，當(dāng)x

4、∈(－2,0)時(shí)，f(x)的最小值為1，則a的值等于________．7．函數(shù)f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值為_(kāi)_______．8．函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1對(duì)于x∈[－1,1]總有f(x)≥0成立，則a＝________.9．對(duì)于函數(shù)f(x)＝，有下列命題：①過(guò)該函數(shù)圖象上一點(diǎn)(－2，f(－2))的切線的斜率為6；②函數(shù)f(x)的最小值等于－；③該方程f(x)＝0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；④函數(shù)f(x)在(－1,0)以及(1，＋∞)上都是減函數(shù)．其中正確的命題有________．二、解答題10．設(shè)

5、＋b(－1≤x≤1)的最大值為1，最小值為－.求常數(shù)a，b.11．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點(diǎn)x＝1處的切線l不過(guò)第四象限且斜率為3，坐標(biāo)原點(diǎn)到切線l的距離為，若x＝時(shí)，y＝f(x)有極值．(1)求a、b、c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．12．已知函數(shù)f(x)＝x3＋2x2＋x－4，g(x)＝ax2＋x－8.(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)若對(duì)任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)≥g(x)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．答案1解析：f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.又f(3)＝－1，f

6、(－3)＝17，f(2)＝－8，f(－2)＝24，所以M＝24，m＝－8，所以M－m＝32.答案：322解析：∵x∈[－，0]，∴sinx∈[－，0]．∴sin2x∈[0，]．答案：　03解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1(舍去)．列出f′(x)，f(x)隨x的變化情況表：x－3(－3，－1)－1(－1,0)0f′(x)＋0－f(x)－1731∴f(x)max＝3，f(x)min＝－17.答案：3　－174解析：只需研究函數(shù)y＝x3在[1,3]上的最小值即可，顯然最小值等于1.答案：15答

7、案：[1,5]6解析：∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x)在(0,2)上的最大值為－1，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f′(x)＝－a，令f′(x)＝0得x＝，又a>，∴0<<2.令f′(x)>0，則x<，∴函數(shù)f(x)在(0，)上遞增；令f′(x)<0，則x>，∴函數(shù)f(x)在(，2)上遞減，∴f(x)max＝f()＝ln－a·＝－1，∴l(xiāng)n＝0，得a＝1.答案：17解析：∵f(x)＝x－x3，∴f′(x)＝1－3x2，由f′(x)＝0得x＝±.因?yàn)閒(0)＝0，f(1)＝0，f()＝(1－)＝，所以f(x)的最大值為.答案：8解析：若x＝0，則不論a取何值，f

8、(x)≥0顯然成立；當(dāng)x>0，即x∈(0,1]時(shí)，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化為a≥－.設(shè)g(x)＝－，則g′(x)＝，所以g(x)在區(qū)間(0，]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[，1]上單調(diào)遞減，因此g(x)max＝g()＝4，從而a≥4；當(dāng)x<0，即x∈[－1,0)時(shí)，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化為a≤－，g(x)＝－在區(qū)間[－1,0)上單調(diào)遞增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，從而a≤4，綜上，a＝4.答案：49解析：當(dāng)x≤0時(shí)，f′(x)＝3x2＋3x，所以f′(－2)＝6，故①正確；畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖所示，可得②錯(cuò)誤，③正

9、確，④錯(cuò)誤．答案：①③10解：令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：x－1(－1,0)0(0，a)a(a,1)1f′(x)＋0－0＋f(x)－1－a＋bb－＋b1－a＋b從上表可知，當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得極大值b，而f(0)>f(a)，又f(1)>f(－1)，故需比較f(0)與f(1)的大?。?yàn)閒(0)－f(1)＝a－1>0，所以f(x)的最大值為f(0)＝b，所以b＝1.又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0，所以f(x)的最小值為f(－1)＝－1－a＋b＝

10、－a，由－a＝－，得a＝，所以a＝，b＝1.11解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax